数学で行こう（旧）: 2018

2018年12月6日

【備忘録】対応の写像による定義

ふと思い立ってこういうことをツイートした；

写像から対応を定義できるか……

A, B を集合とし，A’ を A の部分集合，P(B) を B の冪集合とする．このとき，A’ から P(B) への写像 g を A から B への対応という（以下 G）．ただし，x ∈ A’ のとき G(x) = g(x)，そうでないならG(x) = ∅．
— タナカ (@MathTanaka2017) 2018年12月5日

もう少し見やすくまとめてみた；

対応の写像による定義．

$A,\,B$ を集合とし，

$A'\subseteq A$ とする．このとき，写像

$g:A'\to \mathfrak{P}(B)$ を

$A$ から $B$ への対応

という（以下これを

$G$ とあらわす）．ただし，

$G(x)=\begin{cases} g(x) & x\in A'\\ \varnothing & x\not\in A' \end{cases}$
とする．

補足．もとになる写像

$g$ の始集合を

$A$ の部分集合としたのは，対応では，一般に始集合と定義域が一致しないことを考慮したためである．

補足．

$\mathfrak{P}(B)$ は

$B$ の冪集合である．

補足．定義が妥当かどうかは……どうなんだろうか．

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2018年12月3日

対応の定義に伴う基本命題

前回のエントリー「対応の部分集合による定義」の続き，対応の（部分集合による）定義に伴う基本命題とその証明である．

スマホで見る方は，LaTeXのソースが表示されていると思うので，一番下までスクロールして「ウェブバージョンを表示」をクリックしてみてください．

$\newcommand{\krc}{,\,}$

$\newcommand{\KRMapByGraph}[3]{\left(#2\krc #3\krc #1\right)}$

$\newcommand{\krcc}{,\;}$

$\newcommand{\KRMap}[3]{#1:#2\to #3} \newcommand{\KRMapp}[3]{#2\overset{#1}{\longrightarrow}#3} \newcommand{\KRMapGraph}[1]{G\left(#1\right)} \newcommand{\KRSetC}[2]{\left\{#1\;\middle|\;#2\right\}} \newcommand{\KRMapImgElm}[2]{#1\left(#2\right)} \newcommand{\krEmptySet}{\varnothing} \newcommand{\KRMapTo}[2]{#1\mapsto#2} \newcommand{\KRMapMapTo}[5]{\KRMap{#1}{#2}{#3}\;;\;\KRMapTo{#4}{#5}} \newcommand{\KROrdPair}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{\KRMapDomain}[1]{D\left(#1\right)} \newcommand{\KRMapRange}[1]{V\left(#1\right)} \newcommand{\KRMapComposite}[2]{#2\circ#1}$

定理１．

$\varGamma$ を

$A$ から

$B$ への対応とする．このとき，次のことが成り立つ；

$\KRMapDomain{\varGamma^{-1}} =\KRMapRange{\varGamma}.$
証明．対応の定義域の定義および対応の値域の定義より，

$\begin{align*} \KRMapDomain{\varGamma^{-1}} & =\KRSetC{b}{\KROrdPair{b\krc a}\in\KRMapGraph{\varGamma^{-1}}}\\ \KRMapRange{\varGamma} & =\KRSetC{b}{\KROrdPair{a\krc b}\in\KRMapGraph{\varGamma}} \end{align*}$
である．また，逆対応の定義より，

$\KROrdPair{b\krc a}\in\KRMapGraph{\varGamma^{-1}}\Longleftrightarrow\KROrdPair{a\krc b}\in\KRMapGraph{\varGamma}$
である．したがって，

$\KRMapDomain{\varGamma^{-1}}=\KRMapRange{\varGamma}$ ．

定理２．

$\varGamma$ を

$A$ から

$B$ への対応とする．このとき，次のことが成り立つ；

$\KRMapRange{\varGamma^{-1}} =\KRMapDomain{\varGamma}.$
証明．対応の定義域の定義および値域の定義より，

$\begin{align*} \KRMapRange{\varGamma^{-1}} & =\KRSetC{a}{\KROrdPair{b\krc a}\in\KRMapGraph{\varGamma^{-1}}}\\ \KRMapDomain{\varGamma} & =\KRSetC{a}{\KROrdPair{a\krc b}\in\KRMapGraph{\varGamma}} \end{align*}$
であり，また，逆対応の定義より，

$\KROrdPair{b\krc a}\in\KRMapGraph{\varGamma^{-1}}\Longleftrightarrow\KROrdPair{a\krc b}\in\KRMapGraph{\varGamma}$
である．したがって，

$\KRMapRange{\varGamma^{-1}}=\KRMapDomain{\varGamma}$ ．

定理３．

$\varGamma$ を

$A$ から

$B$ への対応とする．このとき，次のことが成り立つ；

$\left(\varGamma^{-1}\right)^{-1} =\varGamma.$
証明．

$\varGamma$ の逆対応

$\KRMap{\varGamma^{-1}}{B}{A}$ と

$\varGamma^{-1}$ の逆対応

$\KRMap{\left(\varGamma^{-1}\right)^{-1}}{A}{B}$ を考える．逆対応の定義より，

$\begin{align*} \left(a,\,b\right)\in G\left(\varGamma\right) & \Longleftrightarrow\left(b,\,a\right)\in G\left(\varGamma^{-1}\right)\\ & \Longleftrightarrow\left(a,\,b\right)\in G\left(\left(\varGamma^{-1}\right)^{-1}\right) \end{align*}$
である．したがって，

$\KRMapGraph{\varGamma}=\KRMapGraph{\left(\varGamma^{-1}\right)^{-1}}$ ．対応の相当の定義より，

$(\varGamma^{-1})^{-1}=\varGamma$ ．

補足．上記，アホアホしいほど，アホ丁寧な証明だが，このぐらい書かないと私がわからないのだ．

-

次回のエントリーでは，写像の定義にについて書く予定．気長に待たれよ．

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2018年12月1日

対応の部分集合による定義

前回のエントリー「対応と写像の定義【予告編】」の続き，対応の部分集合による定義である．

拙著「集合論」を読まれた方には見慣れた書き方と思うが，私の｢書式｣には本文がほとんど無く，「定義・定理・証明・補足」が淡々と続く．以下でもその方法を踏襲している（自分で「タナカ式」とよんでいます）．

スマホで見る方は，LaTeXのソースが表示されていると思うので，一番下までスクロールして「ウェブバージョンを表示」をクリックしてみてください．

$\newcommand{\krc}{,\,}$

$\newcommand{\KRMapByGraph}[3]{\left(#2\krc #3\krc #1\right)}$

$\newcommand{\krcc}{,\;}$

$A\krc B$ を集合，

$G$ を

$A\times B$ の部分集合とする．このとき，組

$\KRMapByGraph{G}{A}{B}$ を

$A$ から $B$ への対応（correspondence）

という．

補足．対応をあらわす記号として

$f\krcc g\krcc\dots\krcc F\krcc G\krcc\dots\krcc\varGamma\krcc\dots$
などがよく用いられる（とはいうものの，

$\varGamma$ 一択のような気もする）．

補足．対応

$\varGamma=\KRMapByGraph{G}{A}{B}$ を，

$\begin{align*} & \KRMap{\varGamma}{A}{B}\\ & \KRMapp{\varGamma}{A}{B}\end{align*}$
などとよくあらわす．

定義（対応のグラフ）．対応

$\varGamma=\KRMapByGraph{G}{A}{B}$ が与えられているとする．このとき，

$G$ を

対応 $\KRMapByGraph{G}{A}{B}$ のグラフ（graph）

といい，

$\KRMapGraph{\varGamma}$
とあらわす．

定義（対応による像）．対応

$\KRMap{\varGamma}{A}{B}$ が与えられているとする．このとき，

$a\in A$ に対して，

$\KRSetC{b}{\left(a\krc b\right)\in\KRMapGraph{\varGamma}}$
を

$\varGamma$ による $a$ の像（image）

といい，

$\KRMapImgElm{\varGamma}{a}$
とあらわす．

補足．対応

$\KRMap{\varGamma}{A}{B}$ において，

$a\krc a'\in A\krc a\neq a'$ に対して，

$\KRMapImgElm{\varGamma}{a}=\KRMapImgElm{\varGamma}{a'}$ であってもよい．また，

$\KRMapImgElm{\varGamma}{a}=\krEmptySet$ となるような

$a\in A$ が存在してもよい．

定義（始集合）．対応

$\KRMap{\varGamma}{A}{B}$ において，

$A$ を

$\varGamma$ の始集合（initial set）
$\varGamma$ の始域

などという．

定義（終集合）．対応

$\KRMap{\varGamma}{A}{B}$ において，

$B$ を

$\varGamma$ の終集合（final set）
$\varGamma$ の終域

などという．

補足．対応

$\KRMap{\varGamma}{A}{B}$ と

$a\in A$ の

$\varGamma$ による像

$\KRMapImgElm{\varGamma}{a}$ を

$\KRMapMapTo{\varGamma}{A}{B}{a}{\KRMapImgElm{\varGamma}{a}}$
とあらわすことがある（のかどうかはよく知らない．写像ではよくあるが，対応ではどうなのか）．

定義（対応の相当）．2つの対応

$\KRMap{\varGamma}{A}{B}$ ，

$\KRMap{\varGamma'}{A'}{B'}$ に対して，

$\KRMapGraph{\varGamma}=\KRMapGraph{\varGamma'}\krcc A=A'\krcc B=B'$
であるとき，

$\varGamma$ と $\varGamma'$ は等しい

といい，

$\varGamma=\varGamma'$
とあらわす．

定義（逆対応）．対応

$\KRMap{\varGamma}{A}{B}$ が与えられているとする．このとき，

$H=\KRSetC{\KROrdPair{b\krc a}}{\KROrdPair{a\krc b}\in\KRMapGraph{\varGamma}}$
をグラフとする対応

$\KRMapByGraph{H}{B}{A}$ を

$\varGamma$ の逆対応（inverse correspondence）

といい，

$\varGamma^{-1}$
とあらわす．

定義（対応の定義域）．対応

$\KRMap{\varGamma}{A}{B}$ が与えられているとする．このとき，

$\KRSetC{a}{\KROrdPair{a\krc b}\in\KRMapGraph{\varGamma}}$
を

$\varGamma$ の定義域（domain）

といい，

$\KRMapDomain{\varGamma}$
とあらわす．

補足．対応

$\KRMap{\varGamma}{A}{B}$ において，始集合と定義域は必ずしも一致しない．

定義（対応の値域）．対応

$\KRMap{\varGamma}{A}{B}$ が与えられているとする．このとき，

$\KRSetC{b}{\KROrdPair{a\krc b}\in\KRMapGraph{\varGamma}}$
を

$\varGamma$ の値域（range）

といい，

$\KRMapRange{\varGamma}$
とあらわす．

補足．対応

$\KRMap{\varGamma}{A}{B}$ において，終集合と値域は必ずしも一致しない．

定義（対応の逆像）．対応

$\KRMap{\varGamma}{A}{B}$ が与えられているとする．このとき，

$\varGamma^{-1}$ による

$B$ の要素

$b$ の像

$\KRMapImgElm{\varGamma^{-1}}{b}$ を，

$\varGamma$ による $b$ の逆像（inverse image）
$\varGamma$ による $b$ の原像

などという．

定義（対応の合成）．

$\KRMap{\varGamma_{1}}{A}{B}$ ，

$\KRMap{\varGamma_{2}}{B}{C}$ を対応とする．

$G=\KRSetC{\KROrdPair{a\krc c}}{^{\exists}b\in B\left(\KROrdPair{a\krc b}\in\KRMapGraph{\varGamma_{1}}\land\KROrdPair{b\krc c}\in\KRMapGraph{\varGamma_{2}}\right)}$
とする．このとき，対応

$\KRMapByGraph{G}{A}{C}$ を

$\varGamma_{1}$ と $\varGamma_{2}$ の合成対応

といい，

$\KRMapComposite{\varGamma_{1}}{\varGamma_{2}}$
とあらわす．

補足．（対応の合成の定義はこの通りらしいが，私が今ひとつピンときてないのはナイショ）

参考文献

-

以上，対応の部分集合による定義である．

なにかが抜けているような，なにかが足りないような気がしているが，そのときは適時追加します．

次回のエントリーはおそらく，対応の部分集合の定義に伴う基本命題の証明になると思われる．気長に待たれよ．

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2018年11月14日

対応と写像の定義【予告編】

今回のエントリーを書くきっかけは，自分のこのツイートだ；

齋藤正彦『数学の基礎』10-11頁のコメント．

こういう補足は，タナカのような者にとって，とてもありがたい． pic.twitter.com/lWHtJagkXr
— タナカ (@MathTanaka2017) 2018年11月13日

部分集合による「対応・写像」の定義は，単に「規則」を使わない定義ぐらいの認識だったが，そうなのか，そういう考え方なのかと．

素朴集合論では，対応や写像を定義する際，「規則」として定義する（ですよね？）．私の「集合論」でもそのように定義した．そして，そこから部分集合による定義へと話を進めていった．

なぜなら，そのように定義する方が初学者にとって取っ付きやすいと考えたからだ（つまり，私にとってそれが分かりやすかった）．

なお，部分集合による対応の定義の記述はオマケ程度で，「規則」による定義が主，部分集合による定義が従，という扱いをしている．

確認のため，「集合論」を読み返してみると，対応の部分集合による定義は記述しておらず，定理と補足による説明ですませている．

また，そのあたりは話が一直線に進んでおらず，曲がりくねっていて，見通しが悪い．

今となっては，部分集合による定義から話しをした方が良いと考えるが，そこを書き替えると，対応と写像に関する部分を根本的に構築し直す必要がある．

そこで，以下では，対応と写像の定義とその周辺の話を再度書くならこうなるということを記事にしたい．

次　回　に　続　く

-

なお，これからその部分を考えるので，記事になるのは先になる．気長に待たれよ．

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2018年8月6日

「集合論（数学で行こう）」第9.3版

自著「集合論（数学で行こう）」の第9.3版を公開した．

【集合論（数学で行こう）第9.3版】

第9.3版では，

第6章の文言の見直し
その他の章について，一部文言の見直し

を行った．

---

以下，定期的なお知らせ；

改訂版のお知らせのエントリーでは毎回書いているが，個人的には，取り回しの良さでPDF版のほうが良いと思う．PDF版には，

個人の範囲で印刷自由
テキストの選択コピー自由
ロックなし
個人の範囲で複製自由
改訂版のダウンロードが自由
要はただのPDFファイル

という利点があるからだ．

改訂版のダウンロードという点でいうと，AmazonのKindleがどういう仕様になっているのかがよくわからない．購入者がサポートに依頼すれば改訂版をダウンロードできるのはわかっているが，そうしない場合はどうなのかヘルプを読んでも要領を得ない．

製本版を第10版で出す予定に変更はないが，次の改訂版が第10版になるか第9.4版になるかは，今のところ未定のままだ．

といいつつも，第7章を見直して，第9.4版となると思う．

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2018年6月14日

「集合論（数学で行こう）」第9.2.1版

自著「集合論（数学で行こう）」の第9.2.1版を公開した．

★ 2018/06/17　9.2.1版の Kindle での販売を開始しました．

2018/06/15 14:00 現在，Kindle版のファイルのアップロードの不具合のため，Kindle版は「9.2版」のままでです．正常に作業が完了すれば，このエントリーでお知らせします．

【集合論（数学で行こう）第9.2.1版】

第9.2.1版では，本書内のリンク切れを修正した．また，一部，文言を修正した．

今回は，上記リンクの修正がメイン．

---

改訂版のお知らせのエントリーでは毎回書いているが，個人的には，取り回しの良さでPDF版のほうが良いと思う．PDF版には，

個人の範囲で印刷自由
テキストの選択コピー自由
ロックなし
個人の範囲で複製自由
改訂版のダウンロードが自由
要はただのPDFファイル

という利点があるからだ．

改訂版のダウンロードという点でいうと，AmazonのKindleがどういう仕様になっているのかがよくわからない．購入者がサポートに依頼すれば改訂版をダウンロードできるのはわかっているが，そうしない場合はどうなのかヘルプを読んでも要領を得ない．

製本版を第10版で出す予定に変更はないが，次の改訂版が第10版になるか第9.3版になるかは，今のところ未定のままだ．

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2018年6月13日

【予告】集合論の改訂版

明日（06/14）あたり，集合論のプチ改訂版の販売開始の手続を行う予定です．

Kindle版は¥756→¥972になります．

PDF版は¥972のままです．

何度でも繰り返すけどDRM無しのPDF版をオススメ．

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2018年5月28日

群・環・体の関係みたいなもの

こういう，公式みたいなまとめ方はあまりよくないと思いつつまとめてみた．

半群

演算＋結合律

単位元付半群

演算＋結合律＋単位元
半群＋単位元

演算＋結合律＋単位元＋逆元
半群＋単位元＋逆元
単位元付半群＋逆元

可換半群

半群＋可換

可換群

群＋可換

加法：可換群
乗法：単位元付半群
分配律

可換環

加法：可換群
乗法：単位元付半群＋可換
分配律

可除環

加法：可換群
乗法：群
分配律

加法：可換群
乗法：可換群
分配律

-

前回のエントリーを書いてる途中，手元のメモでまとめてたものを吐き出してみた．

いってみれば，確認用．これで覚えようとしてはイケないと思う．

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2018年5月26日

群・環・体の定義

前回のエントリー「演算の定義（群・環・体の準備）」の続きである．

群

定義（半群）．

$G$ を空ではない集合とする．

$G$ 上に演算

$\circ$ が定義されており，次の性質を満たしているとする；

【結合律】任意の $a,\, b,\, c\in G$ に対して， $\left(a\circ b\right)\circ c=a\circ\left(b\circ c\right)$ ．

このとき，

$\left(G,\,\circ\right)$ を半群という．

定義（単位元付半群）．

$G$ を空ではない集合とする．

$G$ 上に演算

$\circ$ が定義されており，次の性質を満たしているとする；

【結合律】任意の $a,\, b,\, c\in G$ に対して， $\left(a\circ b\right)\circ c=a\circ\left(b\circ c\right)$ ．
【単位元】ある要素 $e\in G$ が存在して，任意の $a\in G$ に対して， $a\circ e=e\circ a=a$ ．

このとき，

$\left(G,\,\circ\right)$ を単位元付半群という．

定義（群）．

$G$ を空ではない集合とする．

$G$ 上に演算

$\circ$ が定義されており，次の性質を満たしているとする；

【結合律】任意の $a,\, b,\, c\in G$ に対して， $\left(a\circ b\right)\circ c=a\circ\left(b\circ c\right)$ ．
【単位元】ある要素 $e\in G$ が存在して，任意の $a\in G$ に対して， $a\circ e=e\circ a=a$ ．
【逆元】任意の $a\in G$ に対して，ある $b\in G$ が存在して， $a\circ b=b\circ a=e$ ．

このとき，

$\left(G,\,\circ\right)$ を群という．

補足．誤解の恐れが無ければ，

$\left(G,\,\circ\right)$ を単に

$G$ とあらわす．

定義（可換群）．

$G$ を群とする．

$G$ が次の性質を満たしているとする；

【可換】任意の $a,\, b\in G$ に対して， $a\circ b=b\circ a$ ．

このとき，

$G$ は可換群であるという．

環

定義（環）．集合

$A$ に2つの演算，加法

$\left(+\right)$ と乗法

$\left(\bullet\right)$ が定義されているとする．

$A$ が次の性質を満たしているとする；

$A$ は加法に関して可換群である；

【加法の単位元】ある要素 $e_{0}\in A$ が存在して，任意の $a\in A$ に対して， $a+e_{0}=e_{0}+a=a$ ．
【加法の逆元】任意の $a\in A$ に対して，ある $-a\in A$ が存在して， $a+\left(-a\right)=-a+a=e_{0}$ ．
【加法の結合律】任意の $a,\, b,\, c\in A$ に対して， $\left(a\circ b\right)\circ c=a\circ\left(b\circ c\right)$
【加法が可換】任意の $a,\, b\in A$ に対して， $a\circ b=b\circ a$ ．

$A$ は乗法に関して単位元付半群である；

【乗法の単位元】ある要素 $e_{1}\in A$ が存在して，任意の $a\in A$ に対して， $a\bullet e_{1} = e_{1}\bullet a=a$ ．

【乗法の結合律】任意の $a,\, b,\, c\in A$ に対して， $\left(a\bullet b\right)\bullet c=a\bullet\left(b\bullet c\right)$ ．

【分配律】任意の $a,\, b,\, c\in A$ に対して， $a\bullet\left(b+c\right)=a\bullet b+a\bullet c$ ．

このとき，

$A$ を環という．

定義（可換環）．

$A$ を環とする．

$A$ の乗法に関して，任意の

$a,\, b\in A$ が可換であるとき，すなわち，

$a\bullet b=b\bullet a$ ならば，

$A$ を可換環という．

定義（零元）．

$A$ を環とする．

$A$ の加法に関する単位元

$e_{0}$ を零元という．

補足．環の零元は

$0$ とあらわすことが多い．

定義（単位元）．

$A$ を環とする．

$A$ の乗法に関する単位元

$e_{1}$ を単に単位元という．

補足．環の単位元は

$1$ とあらわすことが多い．

体

定義（可除環）．集合

$K$ に，2つの演算，加法と乗法が定義されているとする．

$K$ が次の2つの条件を満たしているとする；

$K$ は環である．
【乗法の逆元】任意の $a\in K$ に対して，ある $a^{-1}\in K$ が存在して， $a\bullet a^{-1}=a^{-1}\bullet a=e$ ．

このとき，

$K$ を可除環という．

補足．くだけた書き方をすれば，可除環とは

加法に関して可換群であり，
乗法に関して群をなし，
分配律を満たすとき，

をいう．

定義（体）．可除環

$K$ の乗法が，

$K$ の任意の要素

$a,\, b$ に対して可換ならば，

$K$ を体という．

補足．可除環の場合と同様な書き方をすれば，体とは

加法について可換群であり，
乗法についても可換群をなし，
分配律を満たすとき，

をいう．

-

以上，群・環・体の定義である．

演算に関する定義と，群環体の定義は分けて欲しいと思っていたし，そうしないと自分がわからない．

一般論としてはどうかわからないが，私としては，こういう順番で書いてもらうのが一番わかりやすい．

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2018年5月10日

演算の定義（群・環・体の準備）

群・環・体の定義の前に，演算についてこれぐらい書いておいてもらわないと，私にはわからないので，自分なりに演算の定義をまとめておく．

拙著「集合論」を読まれた方には見慣れた書き方と思うが，私の｢書式｣には本文がほとんど無く，「定義・定理・証明・補足」が淡々と続く．以下でもその方法を踏襲している（自分で「タナカ式」とよんでいます）．

なお，集合論（今回の場合は「写像」）については既知であるとして説明している．

✅手元の iPhone で確認したところ，スマホモードではTeXコードが表示され，Webモードでは，数式の表示が一部うまくいかないようです．

演算

定義（演算）．

$X$ を集合とする．写像

$g:X\times X \rightarrow X$ を

集合 $X$ 上の演算

という．

定義（積）．集合

$X$ 上に演算

$g$ が定義されているとする．このとき，

$\left(a,\, b\right)\in X\times X$ の像

$g(a,\, b)$ を積といい

$a\circ b$
とあらわす．

補足．集合

$X$ 上に定義されている演算

$g$ を，その積の記号を用いて

演算

$\circ$

とよくあらわす．

定義（単位元）．集合

$X$ 上に演算

$\circ$ が定義されているとする．ある要素

$e\in X$ が存在して，任意の

$a\in X$ に対して，

$a\circ e=e\circ a=a$ であるとき，

$e$ を単位元という．

補足．演算

$\circ$ における単位元

$e$ を

$0$

$1$

などとよくあらわす．

定義（逆元）．集合

$X$ 上に演算

$\circ$ が定義されているとする．任意の

$a\in X$ に対して，ある

$b\in X$ が存在して，

$a\circ b=b\circ a=e$
であるとき，

$b$ を「

$a$ の逆元」という．

補足．演算

$\circ$ における

$a$ の逆元を

$-a$

$a^{-1}$

などとよくあらわす．

定義（可逆元）．集合

$X$ 上に演算

$\circ$ が定義されているとする．任意の

$a\in X$ に対して，

$a$ の逆元が存在するならば，

$a$ を可逆元という．

定義（可換）．集合

$X$ 上に演算

$\circ$ が定義されているとする．任意の

$a\in X$ に対して，ある

$b\in X$ が存在して，

$a\circ b=b\circ a$

であるとき，「

$a,\, b$ は可換である」という．

定義（結合律）．集合

$X$ 上に演算

$\circ$ が定義されているとする．任意の

$a,\, b,\, c\in X$ に対して，

$\left(a\circ b\right)\circ c=a\circ\left(b\circ c\right)$

であるとき，これを結合律という．

定義（分配律）．集合

$X$ 上に2つの演算

$\circ,\,\diamond$ が定義されているとする．任意の

$a,\, b,\, c\in X$ に対して，

$a\diamond\left(b\circ c\right)=\left(a\diamond b\right)\circ\left(a\diamond c\right)$
であるとき，これを分配律という．

-

以上である．

これらの定義は，群・環・体の定義の中で述べられることが多いが，私はそれを見て，どうにもスッキリせず，モヤモヤしていた．

モヤモヤの原因が何であるのかわからなかったのだが，試行錯誤するうち，演算に関する定義を抜き出して，先に述べてから，群・環・体の定義を書けば流れるように読めることがわかった．

やはり，わからないと思ったら，自分で再構成するほか無いようだ．

というわけで，次回は（多分）群・環・体の定義である．

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2018年4月30日

数学お勧め本その５［位相空間］

今回は位相空間の教科書を紹介する．

例によってややディスり気味の文章だが，私のブログを見てくれている方は，もう慣れていると思いたい．

今回挙げる中で初学者に一番向いていると思うのがこれ．

はじめよう位相空間

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大田春外日本評論社 2000年12月15日

2018年12月6日

2018年12月3日

2018年12月1日

2018年11月14日

2018年8月6日

2018年6月14日

2018年6月13日

2018年5月28日

2018年5月26日

群

環

体

2018年5月10日

演算

2018年4月30日

2018年4月22日

2018年4月11日

2018年3月23日

2018年3月15日

2018年3月10日

2018年2月11日

2018年1月26日