数学で行こう（旧）: 松坂和夫「集合・位相入門」（3）

2017年5月10日

読んでいて引っかかったところの話である．

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松坂和夫岩波書店 1968-06-10

第3章 §2 D) 整列集合の比較定理（103頁）

定理4（比較定理）の証明の中で

と書いてある．

（なお，証明内において，

$J,\,J'$ はどちらも整列集合である；すなわち全順序集合である．また，

$f:J\rightarrow J'$ は全単射である．）

確かに

$f$ は順序同型写像だが，同書の順序同型写像の定義；

によれば，すぐにはそういえないはずだ（ b) によれば，

$f$ は順序単射か？ということ）．

というわけで，

の場合も順序同型写像である．なぜなら云々・・・という説明がいる．

（この定義は斎藤正彦『数学の基礎』による（22頁）．）

-

齋藤の順序同型写像の定義を満たすならば，松坂の順序同型写像の定義を満たすことを証明しておく．

命題；

$A'=\left( A,\,\leqq_{A}\right)$ を全順序集合，

$B'=\left( B,\,\leqq_{B}\right)$ を半順序集合とする．写像

$f$ が

$A'$ から

$B'$ への順序写像で，かつ全単射であるとき，

$f$ は順序同型写像である．

証明；任意の

$a,\,a'\in A'$ に対して，

したがって，

$a'<a\rightarrow f(a')<f(a)$ である．

この対偶と，

$a$ と

$a'$ は比較可能であることから，

$f(a)\leqq_{B} f(a')\rightarrow a\leqq_{A}a'$ である．

以上より，

$f$ は順序単射である．また，

$f$ は全射であったから，

$f$ は順序同型写像である．

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※私はこういうところでけつまづくのです．

ついでながら，

もよろしくお願いします

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