2017年5月10日

松坂和夫「集合・位相入門」(3)

読んでいて引っかかったところの話である.



第3章 §2 D) 整列集合の比較定理(103頁)


定理4(比較定理)の証明の中で
  • b)\(x,\,y\in J\,;\,x>y\) ならば \(f(x)>f(y)\)
  • b) によって,\(f\) は \(J\) から \(J'\) への順序同型写像である(104頁・下から6行目)
と書いてある.

(なお,証明内において,\(J,\,J'\) はどちらも整列集合である;すなわち全順序集合である.また,\(f:J\rightarrow J'\) は全単射である.)

確かに \(f\) は順序同型写像だが,同書の順序同型写像の定義;
  • \(J,\,J'\) は半順序集合
  • \(f\) は順序単射かつ全射
によれば,すぐにはそういえないはずだ( b) によれば,\(f\) は順序単射か?ということ).

というわけで,
  • \(J\) は全順序集合
  • \(J'\) は半順序集合
  • \(f:J\rightarrow J'\) は順序写像かつ全単射
の場合も順序同型写像である.なぜなら云々・・・という説明がいる.

(この定義は斎藤正彦『数学の基礎』による(22頁).)

-

齋藤の順序同型写像の定義を満たすならば,松坂の順序同型写像の定義を満たすことを証明しておく.

命題;\(A'=\left( A,\,\leqq_{A}\right)\) を全順序集合,\(B'=\left( B,\,\leqq_{B}\right)\) を半順序集合とする.写像 \(f\) が \(A'\) から \(B'\) への順序写像で,かつ全単射であるとき,\(f\) は順序同型写像である.

証明;任意の \(a,\,a'\in A'\) に対して,
  • \(f\) は順序写像であるから,\(a'\leqq_{A}a\rightarrow f(a')\leqq_{B}f(a)\) である.
  • \(f\) は単射であるから,\(a'\ne a\rightarrow f(a')\ne f(a)\) である.
したがって,\(a'<a\rightarrow f(a')<f(a)\) である.

この対偶と,\(a\) と \(a'\) は比較可能であることから,\(f(a)\leqq_{B} f(a')\rightarrow a\leqq_{A}a'\) である.

以上より,\(f\) は順序単射である.また,\(f\) は全射であったから,\(f\) は順序同型写像である.

-


※私はこういうところでけつまづくのです.

ついでながら,
もよろしくお願いします






   ↓クリックしてもらえると励みになります.タナカのAmazonセレクションはこちら→(タナカの店
にほんブログ村 科学ブログ 数学へ
にほんブログ村

0 件のコメント:

コメントを投稿