松坂和夫「集合・位相入門」（3）

読んでいて引っかかったところの話である．

集合・位相入門

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松坂 和夫 岩波書店 1968-06-10

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第3章 §2 D) 整列集合の比較定理（103頁）


定理4（比較定理）の証明の中で

• b）\(x,\,y\in J\,;\,x>y\) ならば \(f(x)>f(y)\)
• b) によって，\(f\) は \(J\) から \(J'\) への順序同型写像である（104頁・下から6行目）

と書いてある．

（なお，証明内において，\(J,\,J'\) はどちらも整列集合である；すなわち全順序集合である．また，\(f:J\rightarrow J'\) は全単射である．）

確かに \(f\) は順序同型写像だが，同書の順序同型写像の定義；

• \(J,\,J'\) は半順序集合
• \(f\) は順序単射かつ全射

によれば，すぐにはそういえないはずだ（ b) によれば，\(f\) は順序単射か？ということ）．

というわけで，

• \(J\) は全順序集合
• \(J'\) は半順序集合
• \(f:J\rightarrow J'\) は順序写像かつ全単射

の場合も順序同型写像である．なぜなら云々・・・という説明がいる．

（この定義は斎藤正彦『数学の基礎』による（22頁）．）

-

齋藤の順序同型写像の定義を満たすならば，松坂の順序同型写像の定義を満たすことを証明しておく．

命題；\(A'=\left( A,\,\leqq_{A}\right)\) を全順序集合，\(B'=\left( B,\,\leqq_{B}\right)\) を半順序集合とする．写像 \(f\) が \(A'\) から \(B'\) への順序写像で，かつ全単射であるとき，\(f\) は順序同型写像である．

証明；任意の \(a,\,a'\in A'\) に対して，

• \(f\) は順序写像であるから，\(a'\leqq_{A}a\rightarrow f(a')\leqq_{B}f(a)\) である．
• \(f\) は単射であるから，\(a'\ne a\rightarrow f(a')\ne f(a)\) である．

したがって，\(a'<a\rightarrow f(a')<f(a)\) である．

この対偶と，\(a\) と \(a'\) は比較可能であることから，\(f(a)\leqq_{B} f(a')\rightarrow a\leqq_{A}a'\) である．

以上より，\(f\) は順序単射である．また，\(f\) は全射であったから，\(f\) は順序同型写像である．

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※私はこういうところでけつまづくのです．

ついでながら，

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