松坂和夫「集合・位相入門」（2）

私がひっかっかたところの話である．

集合・位相入門

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松坂 和夫 岩波書店 1968-06-10

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松坂和夫「集合・位相入門」第3章 §3 A) 整列集合に関する一命題（105頁）

補題1（106頁）の条件；

• ( a ) 各$W_{\lambda}$に，それぞれ順序$\leqq_{\lambda}$が定義されている．
• ( b ) $\left(W_{\lambda},\,\leqq_{\lambda}\right)$，$\left(W_{\lambda'},\,\leqq_{\lambda'}\right)$のいずれか一方が他方の切片になっている．

に対して，証明 ( 2 ) で

• （条件 ( b ) より）$\left(W_{\lambda},\,\leqq_{\lambda}\right)$，$\left(W_{\lambda'},\,\leqq_{\lambda'}\right)$のいずれか一方が他方の切片，したがって，部分順序集合であるから，・・・

と書いてある．

この部分を読んで，本当に部分順序集合であるといえるのか？　と思った．

条件 ( a ) より，$W_{\lambda'}$上において，$\leqq_{\lambda}$ と $\leqq_{\lambda'}$ は一般には異なる．
$\left(W_{\lambda'},\,\leqq_{\lambda'}\right)$ が $\left(W_{\lambda},\,\leqq_{\lambda}\right)$ の切片になっているとすると，ある$a\in W_{\lambda}$に対して，
$$\left(W_{\lambda'},\,\leqq_{\lambda}\right) = \left(W_{\lambda},\,\leqq_{\lambda}\right) \left< a\right>$$
 であり，
$$\left(W_{\lambda'},\,\leqq_{\lambda}\right)\ne\left(W_{\lambda'},\,\leqq_{\lambda'}\right)$$
 となりそうなものだ．

つい最近になって，
$$\left(W_{\lambda'},\,\leqq_{\lambda}\right)=\left(W_{\lambda'},\,\leqq_{\lambda'}\right)$$
となるということを，あの条件 ( b ) が示していることに気付いた．

それまでは，( b ) に「かつ部分順序集合である」という条件が必要だろうと思っていた．

-


一般的なかたちで書いておく；

$\left(W,\,\leqq_{W}\right)$，$\left(J,\,\leqq_{J}\right)$ を整列集合とする．

ここで，台集合 $J$ に対して，

• $J$ が $\left(W,\,\leqq_{W}\right)$ の切片である．

というとき， $J$ は $\left(W,\,\leqq_{W}\right)$ の部分順序集合であると考えることが多い．したがって， $J$ を順序集合として考えるとき，$\left(J,\,\leqq_{W}\right)$ と考えるのが自然である．

また，一般に，$\left(J,\,\leqq_{J}\right)\ne \left(J,\,\leqq_{W}\right)$ である．

一方で，

• $\left(J,\,\leqq_{J}\right)$ が $\left(W,\,\leqq_{W}\right)$ の切片である．

というとき，ある $a\in W$ に対して，
$$\left(J,\,\leqq_{J}\right) = \left(W,\,\leqq_{W}\right)\left< a\right>$$
であり，
$$\left(J,\,\leqq_{W}\right) = \left(W,\,\leqq_{W}\right)\left< a\right>$$
である．したがって，
$$\left(J,\,\leqq_{J}\right) = \left(J,\,\leqq_{W}\right)$$
である．

-


※私はこういうところでけつまづくのです．

ついでながら，マストドンのほうもよろしくお願いします； @tanaka2017@mathtod.online






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