2016年12月27日

嘉田勝「論理と集合から始める数学の基礎」

いつもと同じ調子でいく.


集合論の部分を読んでみて感じたところは,以下の通りである.

◆集合の定義

1.1.1節「集合とは」の中の「集合は,同一の要素を2個以上持つことはありません」というのがまるで定理のようだ.証明できるのだろうか.

こういう思い切ったことは私には書けない.「同一の要素が2個以上含まれるときは,これを1つの要素と見なす」という但し書きを付けるのが精一杯である.

著者の言う通りなら「同一の要素を2個以上持つ集まりは,集合ではない」ということになるが,許されるのだろうか.

しかも,1.1.2節「集合の書き表し方」において,\(\{1,\,1,\,2,\,3,\,4\}\)という集合を許しているではないか.「1度だけ書くのと同じ」と態度が軟化している.

「\(\{1,\,1,\,2,\,3,\,4\}\)は集合ではない」ぐらいは言ってほしいものだ.

複数の専門家と出版社が原稿に目を通しているはずなのだが,誰も何も言わなかったのだろうか.

◆集合の相等の定義

1.1.1節「集合とは」の中の「集合の相等」における集合の相等の定義で,「2つの集合\(A\)と\(B\)がが持っている要素が同じとき」と書いているが,この書き方では,解釈に幅が出るのではないか.

そこだけを見ると,同じ集合である\(\{a,\,b,\,c\}\)と\(\{a,\,b,\,c,\,c\}\)とが,異なる集合になってしまう(と私には思える).

なお,同書では,集合の定義において「同一の要素を2個以上持つことはありません」と書いて,上のことを回避している.

もっとも,本書の記述に従うなら, \(\{a,\,b,\,c,\,c\}\)は集合ではないから,\(\{a,\,b,\,c\}\)と\(\{a,\,b,\,c,\,c\}\)は,同じ集合でもなければ,異なる集合でもないが.

◆部分集合と真部分集合

「コラム[2] 部分集合と真部分集合」で,部分集合を表す記号に「\(\subset\)」を用いる理由を書いているが,無理がある.

重要性が低いというのは(今回の場合)理由にならない.

「同一視できるから,この記号を使う 」というのであれば,わかるが,「真部分集合の重要性は低いから,部分集合はこの記号を使う」のは,理由になっているとは思えない.

部分集合を \(\subseteq\) で,真部分集合を \(\subset\) であらわすのは,同書の脚注に書いてある通り,大小関係を表す記号\(<,\,\leqq\)からの連想であり,自然であると考える.

重ねていうが,このケースにおいて「あちらの重要性が低いから,こちらではあちらの記号を使う」というは理由にならない(なっていない).

「本書では部分集合を表す記号に「\(\subset\)」を用いる」とだけ書いておけば,それでいい.理由付けは余計だ.


★他書にはない情報がある
空集合を表すのによく使われる記号 \(\phi\) が正式なものではないというのは,この「コラム[1] 空集合の記号」で知った.

空集合の記号は書物によって異なるのだが,これは著者の習慣によるものだと思っていた.

なお,\(A\cap B\)と\(A\cup B\)を「\(A\)かつ\(B\),\(A\)または\(B\)」と読んでいたのは私である(コラム[4] 集合の記号の読み方).

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納得できる部分とできない部分との差が激しい本である.



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2016年12月19日

「集合論(数学で行こう)」第4版

自著「集合論(数学で行こう)」の第4版をAmazon Kindle にて公開した.



主な改訂個所は以下の通り;

★「〜から成る集合」の定義を修正した.

誤読される表現だったので,これを修正した.

★直和の定義に,直和の表記を追加した.

これに伴い,直和の表記の適用箇所を修正した.

★対応・写像の記述を再構成した.

対応の節で定義した用語を写像の節で用いる場合,重複をいとわず,改めて定義するようにした.
(写像ことはできるだけ写像の節だけで完結させ,対応の節を読み返さなくてもいいようにしたかったため)

★順序集合に関する注意を追加した.

本書では「順序」を「半順序」の意味で,「順序集合」を「半順序集合」の意味で用いている.このことを注意として明記した.

★誤字脱字を修正した.

LaTeXの自作マクロのタイプミスによる,数式の錯誤他を修正した.

◆製本版を延期

第4版を製本版としても販売する予定だったが,これを第5版以降に延期する.
(再構成を検討した方が良い個所,追加した方が良い項目など,見直すべき個所が増加したため)



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