嘉田勝「論理と集合から始める数学の基礎」

いつもと同じ調子でいく．

論理と集合から始める数学の基礎

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嘉田 勝 日本評論社 2008-12-01

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集合論の部分を読んでみて感じたところは，以下の通りである．

◆集合の定義

1.1.1節「集合とは」の中の「集合は，同一の要素を2個以上持つことはありません」というのがまるで定理のようだ．証明できるのだろうか．

こういう思い切ったことは私には書けない．「同一の要素が2個以上含まれるときは，これを1つの要素と見なす」という但し書きを付けるのが精一杯である．

著者の言う通りなら「同一の要素を2個以上持つ集まりは，集合ではない」ということになるが，許されるのだろうか．

しかも，1.1.2節「集合の書き表し方」において，\(\{1,\,1,\,2,\,3,\,4\}\)という集合を許しているではないか．「1度だけ書くのと同じ」と態度が軟化している．

「\(\{1,\,1,\,2,\,3,\,4\}\)は集合ではない」ぐらいは言ってほしいものだ．

複数の専門家と出版社が原稿に目を通しているはずなのだが，誰も何も言わなかったのだろうか．

◆集合の相等の定義

1.1.1節「集合とは」の中の「集合の相等」における集合の相等の定義で，「2つの集合\(A\)と\(B\)がが持っている要素が同じとき」と書いているが，この書き方では，解釈に幅が出るのではないか．

そこだけを見ると，同じ集合である\(\{a,\,b,\,c\}\)と\(\{a,\,b,\,c,\,c\}\)とが，異なる集合になってしまう（と私には思える）．

なお，同書では，集合の定義において「同一の要素を2個以上持つことはありません」と書いて，上のことを回避している．

もっとも，本書の記述に従うなら， \(\{a,\,b,\,c,\,c\}\)は集合ではないから，\(\{a,\,b,\,c\}\)と\(\{a,\,b,\,c,\,c\}\)は，同じ集合でもなければ，異なる集合でもないが．

◆部分集合と真部分集合

「コラム[2] 部分集合と真部分集合」で，部分集合を表す記号に「\(\subset\)」を用いる理由を書いているが，無理がある．

重要性が低いというのは（今回の場合）理由にならない．

「同一視できるから，この記号を使う 」というのであれば，わかるが，「真部分集合の重要性は低いから，部分集合はこの記号を使う」のは，理由になっているとは思えない．

部分集合を \(\subseteq\) で，真部分集合を \(\subset\) であらわすのは，同書の脚注に書いてある通り，大小関係を表す記号\(<,\,\leqq\)からの連想であり，自然であると考える．

重ねていうが，このケースにおいて「あちらの重要性が低いから，こちらではあちらの記号を使う」というは理由にならない（なっていない）．

「本書では部分集合を表す記号に「\(\subset\)」を用いる」とだけ書いておけば，それでいい．理由付けは余計だ．


★他書にはない情報がある
空集合を表すのによく使われる記号 \(\phi\) が正式なものではないというのは，この「コラム[1] 空集合の記号」で知った．

空集合の記号は書物によって異なるのだが，これは著者の習慣によるものだと思っていた．

なお，\(A\cap B\)と\(A\cup B\)を「\(A\)かつ\(B\)，\(A\)または\(B\)」と読んでいたのは私である（コラム[4] 集合の記号の読み方）．

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納得できる部分とできない部分との差が激しい本である．




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