論理記号「 ∧ ∨ ⇒ ￢ 」を一つの論理記号であらわしてみた

論理記号「 $\mid$ 」の真偽値を以下のように定めてみる；

$\begin{array}{ccc} A & B & A\mid B\\ \bigcirc & \bigcirc & \times\\ \bigcirc & \times & \times\\ \times & \bigcirc & \times\\ \times & \times & \bigcirc \end{array}$

すると，$\lnot A$ は

$\begin{array}{cccc} A & A & \lnot A & A\mid A\\ \bigcirc & \bigcirc & \times & \times\\ \times & \times & \bigcirc & \bigcirc \end{array}$

より，$A\mid A$ とあらわせる．

また，$A\lor B$ は，

$\begin{array}{cccccc} A & B & A\lor B & A\mid B & A\mid B & \left(A\mid B\right)\mid\left(A\mid B\right)\\ \bigcirc & \bigcirc & \bigcirc & \times & \times & \bigcirc\\ \bigcirc & \times & \bigcirc & \times & \times & \bigcirc\\ \times & \bigcirc & \bigcirc & \times & \times & \bigcirc\\ \times & \times & \times & \bigcirc & \bigcirc & \times \end{array}$

より，$\left(A\mid B\right)\mid\left(A\mid B\right)$ とあらわせる．

んで，$A\land B \Longleftrightarrow \lnot(\lnot A \lor \lnot B)$ なので，
\[\begin{align*} A\land B & \Longleftrightarrow\lnot\left(\lnot A\lor\lnot B\right)\\ & \Longleftrightarrow\lnot\left[\left(A\mid A\right)\lor\left(B\mid B\right)\right]\\ & \Longleftrightarrow\lnot\left\{ \left[\left(A\mid A\right)\mid\left(B\mid B\right)\right]\mid\left[\left(A\mid A\right)\mid\left(B\mid B\right)\right]\right\} \\ & \Longleftrightarrow\left\{ \left[\left(A\mid A\right)\mid\left(B\mid B\right)\right]\mid\left[\left(A\mid A\right)\mid\left(B\mid B\right)\right]\right\} \mid\\ & \qquad\qquad\left\{ \left[\left(A\mid A\right)\mid\left(B\mid B\right)\right]\mid\left[\left(A\mid A\right)\mid\left(B\mid B\right)\right]\right\} \end{align*}\]
より，$A\land B$ は，\[\left\{ \left[\left(A\mid A\right)\mid\left(B\mid B\right)\right]\mid\left[\left(A\mid A\right)\mid\left(B\mid B\right)\right]\right\} \mid\left\{ \left[\left(A\mid A\right)\mid\left(B\mid B\right)\right]\mid\left[\left(A\mid A\right)\mid\left(B\mid B\right)\right]\right\} \]とあらわせる．

最後に，$A\rightarrow B \Longleftrightarrow \lnot A\lor B$ なので，\[\begin{align*} A\rightarrow B & \Longleftrightarrow\lnot A\lor B\\ & \Longleftrightarrow\left(A\mid A\right)\lor B\\ & \Longleftrightarrow\left[\left(A\mid A\right)\mid B\right]\mid\left[\left(A\mid A\right)\mid B\right] \end{align*}\]より，$A\rightarrow B$ は，\[\left[\left(A\mid A\right)\mid B\right]\mid\left[\left(A\mid A\right)\mid B\right]\]とあらわせる．


-


いかがでしたか， 論理記号「 ∧ ∨ ⇒ ￢ 」はひとつの論理記号「 $\mid$ 」であらわせることがわかりましたね！

皆さんも「 $\mid$ 」を使って，命題論理や述語論理を再構築してみてはどうでしょうか（面倒臭い




今回の記事の元ネタは，瀬山士郎『はじめての現代数学』からでした．

はじめての現代数学

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瀬山士郎 早川書房 2009年03月25日

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「集合論（第10版）」の訂正01

自著「集合論」の第10版の訂正です．

「§3.2.5 集合族の直積」の規約3.4（96頁）で，以下のように記述しました；

この規約内の「 $A^n$， 」を削除します．

任意の $i,\,j\in \varLambda$ に対して，$A_i = A_j$ となるとき，$A^n$ とあらわしますが，一般にはそうではないので．

---

令和になったので，文体を変えました．

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