群・環・体の定義

 前回のエントリー「演算の定義（群・環・体の準備）」の続きである．

群

定義（半群）．$G$ を空ではない集合とする．$G$ 上に演算 $\circ$ が定義されており，次の性質を満たしているとする；

• 【結合律】任意の $a,\, b,\, c\in G$ に対して，$\left(a\circ b\right)\circ c=a\circ\left(b\circ c\right)$．

このとき，$\left(G,\,\circ\right)$ を半群という．


定義（単位元付半群）．$G$ を空ではない集合とする．$G$ 上に演算 $\circ$ が定義されており，次の性質を満たしているとする；

• 【結合律】任意の $a,\, b,\, c\in G$ に対して，$\left(a\circ b\right)\circ c=a\circ\left(b\circ c\right)$．
• 【単位元】ある要素 $e\in G$ が存在して，任意の $a\in G$ に対して，$a\circ e=e\circ a=a$．

このとき，$\left(G,\,\circ\right)$ を単位元付半群という．


定義（群）．$G$ を空ではない集合とする．$G$ 上に演算 $\circ$ が定義されており，次の性質を満たしているとする；

• 【結合律】任意の $a,\, b,\, c\in G$ に対して，$\left(a\circ b\right)\circ c=a\circ\left(b\circ c\right)$．
• 【単位元】ある要素 $e\in G$ が存在して，任意の $a\in G$ に対して，$a\circ e=e\circ a=a$．
• 【逆元】任意の $a\in G$ に対して，ある $b\in G$ が存在して，$a\circ b=b\circ a=e$．

このとき，$\left(G,\,\circ\right)$ を群という．


補足．誤解の恐れが無ければ，$\left(G,\,\circ\right)$ を単に $G$ とあらわす．


定義（可換群）．$G$ を群とする．$G$ が次の性質を満たしているとする；

• 【可換】任意の $a,\, b\in G$ に対して，$a\circ b=b\circ a$．

このとき，$G$ は可換群であるという．

環

定義（環）．集合 $A$ に2つの演算，加法 $\left(+\right)$ と乗法 $\left(\bullet\right)$ が定義されているとする．$A$ が次の性質を満たしているとする；

• $A$ は加法に関して可換群である；

• 【加法の単位元】ある要素 $e_{0}\in A$ が存在して，任意の $a\in A$ に対して，$a+e_{0}=e_{0}+a=a$．
•  【加法の逆元】任意の $a\in A$ に対して，ある$-a\in A$が存在して，$a+\left(-a\right)=-a+a=e_{0}$．
• 【加法の結合律】任意の $a,\, b,\, c\in A$ に対して，$\left(a\circ b\right)\circ c=a\circ\left(b\circ c\right)$
• 【加法が可換】任意の $a,\, b\in A$ に対して，$a\circ b=b\circ a$．
• $A$ は乗法に関して単位元付半群である；

• 【乗法の単位元】ある要素 $e_{1}\in A$ が存在して，任意の$a\in A$に対して， $a\bullet e_{1} = e_{1}\bullet a=a$．

• 【乗法の結合律】任意の $a,\, b,\, c\in A$ に対して， $\left(a\bullet b\right)\bullet c=a\bullet\left(b\bullet c\right)$．
• 【分配律】任意の $a,\, b,\, c\in A$ に対して，$a\bullet\left(b+c\right)=a\bullet b+a\bullet c$．

このとき，$A$ を環という．


定義（可換環）．$A$ を環とする．$A$ の乗法に関して，任意の $a,\, b\in A$ が可換であるとき，すなわち，$$a\bullet b=b\bullet a$$ならば，$A$ を可換環という．


定義（零元）．$A$ を環とする．$A$ の加法に関する単位元 $e_{0}$ を零元という．


補足．環の零元は $0$ とあらわすことが多い．


定義（単位元）．$A$ を環とする．$A$ の乗法に関する単位元 $e_{1}$ を単に単位元という．


補足．環の単位元は $1$ とあらわすことが多い．

体

 定義（可除環）．集合 $K$ に，2つの演算，加法と乗法が定義されているとする．$K$ が次の2つの条件を満たしているとする；

• $K$ は環である．
• 【乗法の逆元】任意の $a\in K$ に対して，ある $a^{-1}\in K$ が存在して，$a\bullet a^{-1}=a^{-1}\bullet a=e$．

このとき，$K$ を可除環という．


補足．くだけた書き方をすれば，可除環とは

• 加法に関して可換群であり，
• 乗法に関して群をなし，
• 分配律を満たすとき，

をいう．

 
定義（体）．可除環 $K$ の乗法が，$K$ の任意の要素 $a,\, b$ に対して可換ならば，$K$ を体という．


補足．可除環の場合と同様な書き方をすれば，体とは

• 加法について可換群であり，
• 乗法についても可換群をなし，
• 分配律を満たすとき，

をいう．

-

以上，群・環・体の定義である．

演算に関する定義と，群環体の定義は分けて欲しいと思っていたし，そうしないと自分がわからない．

一般論としてはどうかわからないが，私としては，こういう順番で書いてもらうのが一番わかりやすい．






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