2018年5月26日

群・環・体の定義

 前回のエントリー「演算の定義(群・環・体の準備)」の続きである.




定義(半群).$G$ を空ではない集合とする.$G$ 上に演算 $\circ$ が定義されており,次の性質を満たしているとする;
  • 【結合律】任意の $a,\, b,\, c\in G$ に対して,$\left(a\circ b\right)\circ c=a\circ\left(b\circ c\right)$.
このとき,$\left(G,\,\circ\right)$ を半群という.


定義(単位元付半群).$G$ を空ではない集合とする.$G$ 上に演算 $\circ$ が定義されており,次の性質を満たしているとする;
  • 【結合律】任意の $a,\, b,\, c\in G$ に対して,$\left(a\circ b\right)\circ c=a\circ\left(b\circ c\right)$.
  • 【単位元】ある要素 $e\in G$ が存在して,任意の $a\in G$ に対して,$a\circ e=e\circ a=a$.
このとき,$\left(G,\,\circ\right)$ を単位元付半群という.


定義(群).$G$ を空ではない集合とする.$G$ 上に演算 $\circ$ が定義されており,次の性質を満たしているとする;
  • 【結合律】任意の $a,\, b,\, c\in G$ に対して,$\left(a\circ b\right)\circ c=a\circ\left(b\circ c\right)$.
  • 【単位元】ある要素 $e\in G$ が存在して,任意の $a\in G$ に対して,$a\circ e=e\circ a=a$.
  • 【逆元】任意の $a\in G$ に対して,ある $b\in G$ が存在して,$a\circ b=b\circ a=e$.
このとき,$\left(G,\,\circ\right)$ をという.


補足.誤解の恐れが無ければ,$\left(G,\,\circ\right)$ を単に $G$ とあらわす.


定義(可換群).$G$ を群とする.$G$ が次の性質を満たしているとする;
  • 【可換】任意の $a,\, b\in G$ に対して,$a\circ b=b\circ a$.
このとき,$G$ は可換群であるという.



定義(環).集合 $A$ に2つの演算,加法 $\left(+\right)$ と乗法 $\left(\bullet\right)$ が定義されているとする.$A$ が次の性質を満たしているとする;
  • $A$ は加法に関して可換群である;
    • 【加法の単位元】ある要素 $e_{0}\in A$ が存在して,任意の $a\in A$ に対して,$a+e_{0}=e_{0}+a=a$.
    •  【加法の逆元】任意の $a\in A$ に対して,ある$-a\in A$が存在して,$a+\left(-a\right)=-a+a=e_{0}$.
    • 【加法の結合律】任意の $a,\, b,\, c\in A$ に対して,$\left(a\circ b\right)\circ c=a\circ\left(b\circ c\right)$
    • 【加法が可換】任意の $a,\, b\in A$ に対して,$a\circ b=b\circ a$.
  • $A$ は乗法に関して単位元付半群である;
    • 【乗法の単位元】ある要素 $e_{1}\in A$ が存在して,任意の$a\in A$に対して, $a\bullet e_{1} = e_{1}\bullet a=a$.
    • 【乗法の結合律】任意の $a,\, b,\, c\in A$ に対して, $\left(a\bullet b\right)\bullet c=a\bullet\left(b\bullet c\right)$.
  • 【分配律】任意の $a,\, b,\, c\in A$ に対して,$a\bullet\left(b+c\right)=a\bullet b+a\bullet c$.
このとき,$A$ をという.


定義(可換環).$A$ を環とする.$A$ の乗法に関して,任意の $a,\, b\in A$ が可換であるとき,すなわち,$$a\bullet b=b\bullet a$$ならば,$A$ を可換環という.


定義(零元).$A$ を環とする.$A$ の加法に関する単位元 $e_{0}$ を零元という.


補足.環の零元は $0$ とあらわすことが多い.


定義(単位元).$A$ を環とする.$A$ の乗法に関する単位元 $e_{1}$ を単に単位元という.


補足.環の単位元は $1$ とあらわすことが多い.



 定義(可除環).集合 $K$ に,2つの演算,加法と乗法が定義されているとする.$K$ が次の2つの条件を満たしているとする;
  • $K$ は環である.
  • 【乗法の逆元】任意の $a\in K$ に対して,ある $a^{-1}\in K$ が存在して,$a\bullet a^{-1}=a^{-1}\bullet a=e$.
このとき,$K$ を可除環という.


補足.くだけた書き方をすれば,可除環とは
  • 加法に関して可換群であり,
  • 乗法に関して群をなし,
  • 分配律を満たすとき,
をいう.

 
定義(体).可除環 $K$ の乗法が,$K$ の任意の要素 $a,\, b$ に対して可換ならば,$K$ をという.


補足.可除環の場合と同様な書き方をすれば,体とは
  • 加法について可換群であり,
  • 乗法についても可換群をなし,
  • 分配律を満たすとき,
をいう.

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以上,群・環・体の定義である.

演算に関する定義と,群環体の定義は分けて欲しいと思っていたし,そうしないと自分がわからない.

一般論としてはどうかわからないが,私としては,こういう順番で書いてもらうのが一番わかりやすい.






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