演算の定義（群・環・体の準備）

群・環・体の定義の前に，演算についてこれぐらい書いておいてもらわないと，私にはわからないので，自分なりに演算の定義をまとめておく．

拙著「集合論」を読まれた方には見慣れた書き方と思うが，私の｢書式｣には本文がほとんど無く，「定義・定理・証明・補足 」が淡々と続く．以下でもその方法を踏襲している（自分で「タナカ式」とよんでいます）．

なお，集合論（今回の場合は「写像」）については既知であるとして説明している．

✅手元の iPhone で確認したところ， スマホモードではTeXコードが表示され，Webモードでは，数式の表示が一部うまくいかないようです．

演算 

定義（演算）．$X$ を集合とする．写像 $g:X\times X \rightarrow X$ を

• 集合 $X$ 上の演算

という．


定義（積）．集合 $X$ 上に演算 $g$ が定義されているとする．このとき，$\left(a,\, b\right)\in X\times X$ の像 $g(a,\, b)$ を積といい
$$a\circ b$$
とあらわす．


補足．集合 $X$ 上に定義されている演算$g$ を，その積の記号を用いて

演算 $\circ$

とよくあらわす．


定義（単位元）．集合 $X$ 上に演算 $\circ$ が定義されているとする．ある要素 $e\in X$ が存在して，任意の $a\in X$ に対して， $$a\circ e=e\circ a=a$$ であるとき，$e$ を単位元という．


補足．演算 $\circ$ における単位元 $e$ を

$0$
$1$

などとよくあらわす．


定義（逆元）．集合 $X$ 上に演算 $\circ$ が定義されているとする．任意の $a\in X$ に対して，ある $b\in X$ が存在して，
$$a\circ b=b\circ a=e$$
であるとき，$b$ を「$a$ の逆元」という．


補足．演算 $\circ$ における $a$ の逆元を

$-a$

$a^{-1}$

などとよくあらわす．


定義（可逆元）．集合 $X$ 上に演算 $\circ$ が定義されているとする．任意の $a\in X$ に対して，$a$ の逆元が存在するならば，$a$ を可逆元という．


定義（可換）．集合 $X$ 上に演算 $\circ$ が定義されているとする．任意の $a\in X$ に対して，ある $b\in X$ が存在して，

$a\circ b=b\circ a$

であるとき，「$a,\, b$ は可換である」という．


定義（結合律）．集合 $X$ 上に演算 $\circ$ が定義されているとする．任意の $a,\, b,\, c\in X$ に対して，

$\left(a\circ b\right)\circ c=a\circ\left(b\circ c\right)$

であるとき，これを結合律という．


定義（分配律）．集合 $X$ 上に2つの演算 $\circ,\,\diamond$ が定義されているとする．任意の $a,\, b,\, c\in X$ に対して，
$$a\diamond\left(b\circ c\right)=\left(a\diamond b\right)\circ\left(a\diamond c\right)$$
であるとき，これを分配律という．


-


以上である．


これらの定義は，群・環・体の定義の中で述べられることが多いが，私はそれを見て，どうにもスッキリせず，モヤモヤしていた．

モヤモヤの原因が何であるのかわからなかったのだが，試行錯誤するうち，演算に関する定義を抜き出して，先に述べてから，群・環・体の定義を書けば流れるように読めることがわかった．

やはり，わからないと思ったら，自分で再構成するほか無いようだ．

というわけで，次回は（多分）群・環・体の定義である．





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