拙著「集合論」を読まれた方には見慣れた書き方と思うが，私の｢書式｣には本文がほとんど無く，「定義・定理・証明・補足 」が淡々と続く．以下でもその方法を踏襲している（自分で「タナカ式」とよんでいます）．
スマホで見る方は，LaTeXのソースが表示されていると思うので，一番下までスクロールして「ウェブバージョンを表示」をクリックしてみてください．
定義（対応）．A,B を集合，G を A×B の部分集合とする．このとき，組 (A,B,G) を
- A から B への対応（correspondence）
補足．対応をあらわす記号として
f,g,…,F,G,…,Γ,…
などがよく用いられる（とはいうものの，Γ 一択のような気もする）．
補足．対応 Γ=(A,B,G) を，
Γ:A→BAΓ⟶B
などとよくあらわす．
定義（対応のグラフ）．対応 Γ=(A,B,G) が与えられているとする．このとき，G を
- 対応 (A,B,G) のグラフ（graph）
G(Γ)
とあらわす．
定義（対応による像）．対応 Γ:A→B が与えられているとする．このとき，a∈A に対して，
{b|(a,b)∈G(Γ)}
を
- Γ による a の像（image）
Γ(a)
とあらわす．
補足．対応 Γ:A→B において，a,a′∈A,a≠a′ に対して，Γ(a)=Γ(a′) であってもよい．また，Γ(a)=∅ となるような a∈A が存在してもよい．
定義（始集合）．対応 Γ:A→B において，A を
- Γ の始集合（initial set）
- Γ の始域
定義（終集合）．対応 Γ:A→B において，B を
- Γ の終集合（final set）
- Γ の終域
補足．対応 Γ:A→B と a∈A の Γ による像 Γ(a) を
Γ:A→B;a↦Γ(a)
とあらわすことがある（のかどうかはよく知らない．写像ではよくあるが，対応ではどうなのか）．
定義（対応の相当）．2つの対応 Γ:A→B，Γ′:A′→B′ に対して，
G(Γ)=G(Γ′),A=A′,B=B′
であるとき，
- Γ と Γ′ は等しい
Γ=Γ′
とあらわす．
定義（逆対応）．対応 Γ:A→B が与えられているとする．このとき，
H={(b,a)|(a,b)∈G(Γ)}
をグラフとする対応 (B,A,H) を
- Γ の逆対応（inverse correspondence）
Γ−1
とあらわす．
定義（対応の定義域）．対応 Γ:A→B が与えられているとする．このとき，
{a|(a,b)∈G(Γ)}
を
- Γ の定義域（domain）
D(Γ)
とあらわす．
補足．対応 Γ:A→B において，始集合と定義域は必ずしも一致しない．
定義（対応の値域）．対応 Γ:A→B が与えられているとする．このとき，
{b|(a,b)∈G(Γ)}
を
- Γ の値域（range）
V(Γ)
とあらわす．
補足．対応 Γ:A→B において，終集合と値域は必ずしも一致しない．
定義（対応の逆像）．対応 Γ:A→B が与えられているとする．このとき，Γ−1 による B の要素 b の像 Γ−1(b) を，
- Γ による b の逆像（inverse image）
- Γ による b の原像
定義（対応の合成）．Γ1:A→B，Γ2:B→C を対応とする．
G={(a,c)|∃b∈B((a,b)∈G(Γ1)∧(b,c)∈G(Γ2))}
とする．このとき，対応 (A,C,G) を
- Γ1 と Γ2 の合成対応
Γ2∘Γ1
とあらわす．
補足．（対応の合成の定義はこの通りらしいが，私が今ひとつピンときてないのはナイショ）
参考文献
-
以上，対応の部分集合による定義である．
なにかが抜けているような，なにかが足りないような気がしているが， そのときは適時追加します．
次回のエントリーはおそらく，対応の部分集合の定義に伴う基本命題の証明になると思われる．気長に待たれよ．
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