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定理１．Γ を A から B への対応とする．このとき，次のことが成り立つ； D(Γ−1)=V(Γ).
証明．対応の定義域の定義および対応の値域の定義より，
D(Γ−1)={b|(b,a)∈G(Γ−1)}V(Γ)={b|(a,b)∈G(Γ)}
である．また，逆対応の定義より，
(b,a)∈G(Γ−1)⟺(a,b)∈G(Γ)
である．したがって，D(Γ−1)=V(Γ)．
定理２．Γ を A から B への対応とする．このとき，次のことが成り立つ；
V(Γ−1)=D(Γ).
証明．対応の定義域の定義および値域の定義より，
V(Γ−1)={a|(b,a)∈G(Γ−1)}D(Γ)={a|(a,b)∈G(Γ)}
であり，また，逆対応の定義より，
(b,a)∈G(Γ−1)⟺(a,b)∈G(Γ)
である．したがって，V(Γ−1)=D(Γ)．
定理３．Γ を A から B への対応とする．このとき，次のことが成り立つ；
(Γ−1)−1=Γ.
証明．Γ の逆対応 Γ−1:B→A と Γ−1 の逆対応 (Γ−1)−1:A→B を考える．逆対応の定義より，
(a,b)∈G(Γ)⟺(b,a)∈G(Γ−1)⟺(a,b)∈G((Γ−1)−1)
である．したがって，G(Γ)=G((Γ−1)−1)．対応の相当の定義より，(Γ−1)−1=Γ．
補足．上記，アホアホしいほど，アホ丁寧な証明だが，このぐらい書かないと私がわからないのだ．
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次回のエントリーでは，写像の定義にについて書く予定．気長に待たれよ．
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