対応の定義に伴う基本命題

前回のエントリー「対応の部分集合による定義」の続き，対応の（部分集合による）定義に伴う基本命題とその証明である．

スマホで見る方は，LaTeXのソースが表示されていると思うので，一番下までスクロールして「ウェブバージョンを表示」をクリックしてみてください．

$\newcommand{\krc}{,\,}$ $\newcommand{\KRMapByGraph}[3]{\left(#2\krc #3\krc #1\right)}$ $\newcommand{\krcc}{,\;}$ $\newcommand{\KRMap}[3]{#1:#2\to #3} \newcommand{\KRMapp}[3]{#2\overset{#1}{\longrightarrow}#3} \newcommand{\KRMapGraph}[1]{G\left(#1\right)} \newcommand{\KRSetC}[2]{\left\{#1\;\middle|\;#2\right\}} \newcommand{\KRMapImgElm}[2]{#1\left(#2\right)} \newcommand{\krEmptySet}{\varnothing} \newcommand{\KRMapTo}[2]{#1\mapsto#2} \newcommand{\KRMapMapTo}[5]{\KRMap{#1}{#2}{#3}\;;\;\KRMapTo{#4}{#5}} \newcommand{\KROrdPair}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{\KRMapDomain}[1]{D\left(#1\right)} \newcommand{\KRMapRange}[1]{V\left(#1\right)} \newcommand{\KRMapComposite}[2]{#2\circ#1}$

定理１．$\varGamma$ を $A$ から $B$ への対応とする．このとき，次のことが成り立つ； \[
\KRMapDomain{\varGamma^{-1}} =\KRMapRange{\varGamma}.
\]
証明．対応の定義域の定義および対応の値域の定義より，
\[
\begin{align*}
\KRMapDomain{\varGamma^{-1}} & =\KRSetC{b}{\KROrdPair{b\krc a}\in\KRMapGraph{\varGamma^{-1}}}\\
\KRMapRange{\varGamma} & =\KRSetC{b}{\KROrdPair{a\krc b}\in\KRMapGraph{\varGamma}}
\end{align*}
\]
である．また，逆対応の定義より，
\[
\KROrdPair{b\krc a}\in\KRMapGraph{\varGamma^{-1}}\Longleftrightarrow\KROrdPair{a\krc b}\in\KRMapGraph{\varGamma}
\]
である．したがって，$\KRMapDomain{\varGamma^{-1}}=\KRMapRange{\varGamma}$．



定理２．$\varGamma$ を $A$ から $B$ への対応とする．このとき，次のことが成り立つ；
\[
\KRMapRange{\varGamma^{-1}} =\KRMapDomain{\varGamma}.
\]
証明．対応の定義域の定義および値域の定義より，
\[
\begin{align*}
\KRMapRange{\varGamma^{-1}} & =\KRSetC{a}{\KROrdPair{b\krc a}\in\KRMapGraph{\varGamma^{-1}}}\\
\KRMapDomain{\varGamma} & =\KRSetC{a}{\KROrdPair{a\krc b}\in\KRMapGraph{\varGamma}}
\end{align*}
\]
であり，また，逆対応の定義より，
\[
\KROrdPair{b\krc a}\in\KRMapGraph{\varGamma^{-1}}\Longleftrightarrow\KROrdPair{a\krc b}\in\KRMapGraph{\varGamma}
\]
である．したがって，$\KRMapRange{\varGamma^{-1}}=\KRMapDomain{\varGamma}$．



定理３．$\varGamma$ を $A$ から $B$ への対応とする．このとき，次のことが成り立つ；
\[
\left(\varGamma^{-1}\right)^{-1}  =\varGamma.
\]
証明．$\varGamma$ の逆対応 $\KRMap{\varGamma^{-1}}{B}{A}$ と $\varGamma^{-1}$ の逆対応 $\KRMap{\left(\varGamma^{-1}\right)^{-1}}{A}{B}$ を考える．逆対応の定義より，
\[
\begin{align*}
\left(a,\,b\right)\in G\left(\varGamma\right) & \Longleftrightarrow\left(b,\,a\right)\in G\left(\varGamma^{-1}\right)\\
 & \Longleftrightarrow\left(a,\,b\right)\in G\left(\left(\varGamma^{-1}\right)^{-1}\right)
\end{align*}
\]
である．したがって，$\KRMapGraph{\varGamma}=\KRMapGraph{\left(\varGamma^{-1}\right)^{-1}}$．対応の相当の定義より，$(\varGamma^{-1})^{-1}=\varGamma$．


補足．上記，アホアホしいほど，アホ丁寧な証明だが，このぐらい書かないと私がわからないのだ．

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次回のエントリーでは，写像の定義にについて書く予定．気長に待たれよ．





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