【備忘録】対応の写像による定義

ふと思い立ってこういうことをツイートした；

写像から対応を定義できるか……

A, B を集合とし，A’ を A の部分集合，P(B) を B の冪集合とする．このとき，A’ から P(B) への写像 g を A から B への対応という（以下 G）．ただし，x ∈ A’ のとき G(x) = g(x)，そうでないならG(x) = ∅．

— タナカ (@MathTanaka2017) 2018年12月5日

もう少し見やすくまとめてみた；

対応の写像による定義．$A,\,B$ を集合とし，$A'\subseteq A$ とする．このとき，写像 $g:A'\to \mathfrak{P}(B)$ を

• $A$ から $B$ への対応

という（以下これを $G$ とあらわす）．ただし，
\[
G(x)=\begin{cases}
g(x) & x\in A'\\
\varnothing & x\not\in A'
\end{cases}
\]
とする．


補足．もとになる写像 $g$ の始集合を $A$ の部分集合としたのは，対応では，一般に始集合と定義域が一致しないことを考慮したためである．

補足．$\mathfrak{P}(B)$ は $B$ の冪集合である．

補足．定義が妥当かどうかは……どうなんだろうか．

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