私がひっかっかたところの話である．
松坂和夫「集合・位相入門」第3章 §3 A) 整列集合に関する一命題（105頁）
補題1（106頁）の条件；
- ( a ) 各\(W_{\lambda}\)に，それぞれ順序\(\leqq_{\lambda}\)が定義されている．
- ( b ) \(\left(W_{\lambda},\,\leqq_{\lambda}\right)\)，\(\left(W_{\lambda'},\,\leqq_{\lambda'}\right)\)のいずれか一方が他方の切片になっている．
に対して，証明 ( 2 ) で
- （条件 ( b ) より）\(\left(W_{\lambda},\,\leqq_{\lambda}\right)\)，\(\left(W_{\lambda'},\,\leqq_{\lambda'}\right)\)のいずれか一方が他方の切片，したがって，部分順序集合であるから，・・・
と書いてある．
この部分を読んで，本当に部分順序集合であるといえるのか？ と思った．
条件 ( a ) より，\(W_{\lambda'}\)上において，\(\leqq_{\lambda}\) と \(\leqq_{\lambda'}\) は一般には異なる．
\(\left(W_{\lambda'},\,\leqq_{\lambda'}\right)\) が \(\left(W_{\lambda},\,\leqq_{\lambda}\right)\) の切片になっているとすると，ある\(a\in W_{\lambda}\)に対して，
\[
\left(W_{\lambda'},\,\leqq_{\lambda}\right) = \left(W_{\lambda},\,\leqq_{\lambda}\right) \left< a\right>
\]
であり，
\[
\left(W_{\lambda'},\,\leqq_{\lambda}\right)\ne\left(W_{\lambda'},\,\leqq_{\lambda'}\right)
\]
となりそうなものだ．
つい最近になって，
\[
\left(W_{\lambda'},\,\leqq_{\lambda}\right)=\left(W_{\lambda'},\,\leqq_{\lambda'}\right)
\]
となるということを，あの条件 ( b ) が示していることに気付いた．
それまでは，( b ) に「かつ部分順序集合である」という条件が必要だろうと思っていた．
-
一般的なかたちで書いておく；
\(\left(W,\,\leqq_{W}\right)\)，\(\left(J,\,\leqq_{J}\right)\) を整列集合とする．
ここで，台集合 \(J\) に対して，
- \(J\) が \(\left(W,\,\leqq_{W}\right)\) の切片である．
というとき， \(J\) は \(\left(W,\,\leqq_{W}\right)\) の部分順序集合であると考えることが多い．したがって， \(J\) を順序集合として考えるとき，\(\left(J,\,\leqq_{W}\right)\) と考えるのが自然である．
また，一般に，\(\left(J,\,\leqq_{J}\right)\ne \left(J,\,\leqq_{W}\right)\) である．
一方で，
- \(\left(J,\,\leqq_{J}\right)\) が \(\left(W,\,\leqq_{W}\right)\) の切片である．
というとき，ある \(a\in W\) に対して，
\[
\left(J,\,\leqq_{J}\right) = \left(W,\,\leqq_{W}\right)\left< a\right>
\]
であり，
\[
\left(J,\,\leqq_{W}\right) = \left(W,\,\leqq_{W}\right)\left< a\right>
\]
である．したがって，
\[
\left(J,\,\leqq_{J}\right) = \left(J,\,\leqq_{W}\right)
\]
である．
-
※私はこういうところでけつまづくのです．
ついでながら，マストドンのほうもよろしくお願いします；
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