内田伏一「集合と位相」

この本も，集合・位相の教科書としてあげられることが多い．

集合と位相 (数学シリーズ)

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内田 伏一 裳華房 1986-11-01

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集合論の部分を読んでみて気付いた点は以下の通り；

◆集合の相等の定義に気になる部分がある

定義自体に問題はないのだが，その頭に，

• 二つの集合 \(A,\,B\) はまったく同じ構成要素から成るとき，すなわち，・・・

とある．

2つの集合 \(A=\{a,\,a,\,b\}\) と \(B=\{a,\,b\}\) は等しいが，全く同じ構成要素からなるとはいえない（だろう）．

全く同じ構成要素から成る２つの集合は等しいが，その逆，２つの集合が等しい場合でも，全く同じ構成要素から成るとは限らない．

\(A\) には要素 \(a\) が２つ含まれているが，\(B\) には要素 \(a\)は１つしか含まれていない．

これを，全く同じ構成要素から成るかと問われれば，私は否と答える．

◆写像の定義にも気になる部分がある

写像の定義の後半に，

• \(A\) から \(B\) への写像 \(f\) の \(B\) を終域または値域という．

と書いてあるのだが，そうだろうか．

\(B\) が値域と一致する場合もあるが，一般にはそうではない．

◆本のタイトルにも気になる部分がある

位相の準備編としての集合なら，本のタイトルから集合の2文字は省略したほうがよい．

位相の頭に集合という字面をつける理由を教えてほしい．本書の場合なら，集合の字面はせいぜいでサブタイトルあたりが妥当だ．

★定理の証明は省かれていない 

当然のことだ．

ただし，問いについては，一部解答が省かれている．解答を省くぐらいなら，最初からその問いをのせなければよい．問いが簡単だから解答を省くというのは理由にならない．

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また，細かいところを書いているのだが，気になるのだからしょうがない．






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前原昭二「記号論理入門」

私が読んだのは，旧版の方である（新刊は新装版なので，改定はされていないと思う）．

記号論理入門 (日評数学選書)

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前原 昭二 日本評論社 2005-12-01

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本書を読んでみて，気づいた点は以下の通りである；

◆何度も読み返したところが１箇所

第1章 §2「命題と命題関数」において，

• 変数を含んでいる命題は，今は命題とは考えない
• このように限定して考えることは，あくまでもここしばらくの話で

とあり，その直後に，

• ＜変数を含む命題＞はどのように考えるのか 

と述べている．

それらは，なんということもない文章なのだが，

• 変数を含んでいる命題は，今は命題とは考えない

というのを，私は

• その話題を後回しにする

ととらえたため，「命題関数」に置き換わった「変数を含む命題」が，その直後から頻繁に出てくることに少し混乱した．

この部分を

• ここしばらくは「変数を含む命題」を「命題関数」と考え，命題と命題関数は別物として扱う

という風に書いてくれれば，迷うことはなかった．

（ここで，引っかかったのは私だけだろうか）

★詳しく丁寧な説明

「であります」調に違和感を感じる人がいるかもしれないが，全般に渡り，詳しく丁寧に説明してくれる教科書だ．

◆それでもわからないところがある

全体に渡り詳しい説明があるのだが，それでもわからないところがある．演繹における仮定の除去がそれである（第2章 §1）．

例えば，次の演繹；

\(\dfrac{\dfrac{A\quad A\rightarrow B}{B}\quad\dfrac{A\quad A\rightarrow\left(B\rightarrow C\right)}{B\rightarrow C}}{C}\)

の場合，前提 \(A,\, A\rightarrow B,\, A\rightarrow\left(B\rightarrow C\right)\) から \(C\) が導かれるというのはわかる．しかし，そこから，

\(\dfrac{\dfrac{\overset{1}{A}\quad A\rightarrow B}{B}\quad\dfrac{\overset{1}{A}\quad A\rightarrow\left(B\rightarrow C\right)}{B\rightarrow C}}{\dfrac{C}{A\rightarrow C}\quad1}\)

として，仮定 \(A\) を除去すれば，前提 \(A\rightarrow B,\, A\rightarrow\left(B\rightarrow C\right)\) から \(A\rightarrow C\) が導かれるというが，それが妥当なのかどうかの説明がない．

この部分に説明があればよかったのだが．

（鹿島亮「数理論理学」にはその辺りの説明が，詳しくなされているようだが，まだ読んでいない）


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説明が詳しすぎて，頭の中が迷走してしまう個所も多々あるが，そこには目をつぶっている．





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鈴木晋一「集合と位相への入門」

タイトルに「集合と位相」と書いているが，そうではなさそうである．

集合と位相への入門―ユークリッド空間の位相 (ライブラリ新数学大系)

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鈴木 晋一 サイエンス社 2003-04-01

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本書を読んでみて，気づいた点は以下の通りである；

★問の解答をすべて載せている

しかも，略解ではなく，完全な解答である．

こういうことは当たり前のことであり，本来なら，良い評価にはならないはずだ．

しかし，当たり前ではない教科書が多い以上，評価せざるを得ない．

◆タイトルがおかしい

タイトルに集合とついているが，集合について述べているのは二十数ページである．
タイトルに位相とついているが，位相について述べているのは，十ページである．

タイトルにはないが，論理について9ページある．
タイトルにはないが，実数について40ページ以上ある．
タイトルにはないが，ユークリッド空間についても40ページ以上ある．

タイトルにはないから，距離空間については6ページだけ．

これなら，

実数とユークリッド空間への入門

〜　おまけで論理と集合と距離空間　〜

〜　あっ，位相は最後にほんのちょっと　〜

とした方がいい．

「位相」以外の教科書では，こういうことはないように思う．たとえば，

• 集合と線形代数
• 集合と代数系
• 集合と実関数論
• 集合と数の体系

というタイトルは見かけない．

なぜかは知らないが，「位相」に限っては，タイトルの頭に「集合」という単語をつけなければならないようである．

何か決め事でもあるのだろうか．

◆ \(n\) 次元ユークリッド空間の定義がおかしい

1次元ユークリッド空間 \(\mathbb{R}^1\) の直積 \(\mathbb{R}^n\) をユークリッド空間とよぶ，と定義したあとで，\(\mathbb{R}^n\) にユークリッドの距離を導入したものをユークリッド空間という，と定義している．

どちらがユークリッド空間なのだろうか．

1次元ユークリッド空間の直積には，ユークリッド距離が導入されていることになるのだろうか．それならば，わざわざ \(\mathbb{R}^n\) にユークリッド距離を導入する必要はない．

本書によれば，ユークリッド距離を導入してもしなくても，\(\mathbb{R}^n\) はユークリッド空間というらしいのだが，これを信頼する勇気は私にはない．

なお，距離空間の定義は，ユークリッド空間の定義とは違い，まともである．

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同著者の教科書「位相入門」の中のユークリッド空間と距離空間の定義は，本書のコピペでした．





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「集合論（数学で行こう）」第7版

自著「集合論（数学で行こう）」の第7版をAmazon Kindle にて公開した．

集合論（数学で行こう）

改訂個所は以下の通り；

★（変更個所）

•  §3.1を数列として再構成した．

第6版で，§3.1を「数列と写像」としておきながら，「数列」を定義していないことに気づいた．
今までどこを見ていたのかと思うのだが，これも執筆とその確認を一人で行っている故だ．

また，再構成する際，族を定義してから，族の特殊なものである「列」や「数列」を定義する流れにしたかった．

列や族と写像を同一視するという考え方が（私には）ピンときていなかったので，有限列・無限列から構成的に定義し，数列の定義のあとに，写像と数列の関係について補足する方法をとった．
（書き上げたあとでは，どちらの方法でもそれほど変わらないようにも思える）


1ヶ月かけて，改訂個所がたったのそれだけかといわれると，確かにその通りだ．自分でも仕事が遅いと思う．

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※第6版またはそれ以前の版を購入された方が，最新の版をダウンロードするには，Amazonのサポートに依頼する必要があるようです．手順を紹介したサイト・ブログ等を「Kindle　改訂版　ダウンロード」で検索して下さい．お手数ですがよろしくお願いします．

※本書を書いた経緯については「集合論の本（冊子）を書いた」をお読み下さい．




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Amazon Kindle の電子書籍改訂版のダウンロード

Amazon Kindleの電子書籍の購入後に改訂版が出た場合，既購入者は改訂版をダウンロードできない仕様のようだ．

改訂版をダウンロードするには，カスタマーサービスに申請が必要である．

Google等で「Kindle　改訂版　ダウンロード」 で検索すれば，説明のブログ・サイトが出てくる．
（私が説明するよりも，検索結果のブログ等を見る方がずっとわかりやすい．）

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電子書籍なのに，その仕様はないだろうと思う．

電子書籍は，場所をとらない・持ち歩きに重さを気にしなくていよいのが利点である．

もう一つ，改訂が容易であるというのも長所だ．ただし，既購入者が最新版をダウンロードできるという仕様になっていればの話だが．

Kindleの「最新版を都度買い直せ」といわんばかりの仕様はいただけない．

改訂版を，別書籍として出版するのか，更新として無償ダウンロードさせるのかは，書き手の判断である．

また，どの版を読むかは，購入者が選択できなければならないと考える．

Amazonには，是非とも仕様を変更してもらいたい．

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最初に書いた事情がありますので，自著「集合論（数学で行こう）」の第5版またはそれ以前の版を購入された方は，お手数ですが，上記の説明のブログ等にしたがって，第6版のダウンロードの手続をお願いします．




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