前回のエントリー「
対応と写像の定義【予告編】」の続き，対応の部分集合による定義である．
拙著「
集合論」を読まれた方には見慣れた書き方と思うが，私の｢書式｣には本文がほとんど無く，「定義・定理・証明・補足 」が淡々と続く．以下でもその方法を踏襲している（自分で「タナカ式」とよんでいます）．
スマホで見る方は，LaTeXのソースが表示されていると思うので，一番下までスクロールして「ウェブバージョンを表示」をクリックしてみてください．
$\newcommand{\krc}{,\,}$ $\newcommand{\KRMapByGraph}[3]{\left(#2\krc #3\krc #1\right)}$ $\newcommand{\krcc}{,\;}$ $\newcommand{\KRMap}[3]{#1:#2\to #3} \newcommand{\KRMapp}[3]{#2\overset{#1}{\longrightarrow}#3} \newcommand{\KRMapGraph}[1]{G\left(#1\right)} \newcommand{\KRSetC}[2]{\left\{#1\;\middle|\;#2\right\}} \newcommand{\KRMapImgElm}[2]{#1\left(#2\right)} \newcommand{\krEmptySet}{\varnothing} \newcommand{\KRMapTo}[2]{#1\mapsto#2} \newcommand{\KRMapMapTo}[5]{\KRMap{#1}{#2}{#3}\;;\;\KRMapTo{#4}{#5}} \newcommand{\KROrdPair}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{\KRMapDomain}[1]{D\left(#1\right)} \newcommand{\KRMapRange}[1]{V\left(#1\right)} \newcommand{\KRMapComposite}[2]{#2\circ#1}$
定義（対応）．$A\krc B$ を集合，$G$ を $A\times B$ の部分集合とする．このとき，組 $\KRMapByGraph{G}{A}{B}$ を
- $A$ から $B$ への対応（correspondence）
という．
補足．対応をあらわす記号として
\[
f\krcc g\krcc\dots\krcc F\krcc G\krcc\dots\krcc\varGamma\krcc\dots
\]
などがよく用いられる（とはいうものの，$\varGamma$ 一択のような気もする）．
補足．対応 $\varGamma=\KRMapByGraph{G}{A}{B}$ を，
\[
\begin{align*} & \KRMap{\varGamma}{A}{B}\\ & \KRMapp{\varGamma}{A}{B}\end{align*}
\]
などとよくあらわす．
定義（対応のグラフ）．対応 $\varGamma=\KRMapByGraph{G}{A}{B}$ が与えられているとする．このとき，$G$ を
- 対応 $\KRMapByGraph{G}{A}{B}$ のグラフ（graph）
といい，
\[
\KRMapGraph{\varGamma}
\]
とあらわす．
定義（対応による像）．対応 $\KRMap{\varGamma}{A}{B}$ が与えられているとする．このとき，$a\in A$ に対して，
\[
\KRSetC{b}{\left(a\krc b\right)\in\KRMapGraph{\varGamma}}
\]
を
- $\varGamma$ による $a$ の像（image）
といい，
\[
\KRMapImgElm{\varGamma}{a}
\]
とあらわす．
補足．対応 $\KRMap{\varGamma}{A}{B}$ において，$a\krc a'\in A\krc a\neq a'$ に対して，$\KRMapImgElm{\varGamma}{a}=\KRMapImgElm{\varGamma}{a'}$ であってもよい．また，$\KRMapImgElm{\varGamma}{a}=\krEmptySet$ となるような $a\in A$ が存在してもよい．
定義（始集合）．対応 $\KRMap{\varGamma}{A}{B}$ において，$A$ を
- $\varGamma$ の始集合（initial set）
- $\varGamma$ の始域
などという．
定義（終集合）．対応 $\KRMap{\varGamma}{A}{B}$ において，$B$ を
- $\varGamma$ の終集合（final set）
- $\varGamma$ の終域
などという．
補足．対応 $\KRMap{\varGamma}{A}{B}$ と $a\in A$ の $\varGamma$ による像 $\KRMapImgElm{\varGamma}{a}$ を
\[
\KRMapMapTo{\varGamma}{A}{B}{a}{\KRMapImgElm{\varGamma}{a}}
\]
とあらわすことがある（のかどうかはよく知らない．写像ではよくあるが，対応ではどうなのか）．
定義（対応の相当）．2つの対応 $\KRMap{\varGamma}{A}{B}$，$\KRMap{\varGamma'}{A'}{B'}$ に対して，
\[
\KRMapGraph{\varGamma}=\KRMapGraph{\varGamma'}\krcc A=A'\krcc B=B'
\]
であるとき，
- $\varGamma$ と $\varGamma'$ は等しい
といい，
\[
\varGamma=\varGamma'
\]
とあらわす．
定義（逆対応）．対応 $\KRMap{\varGamma}{A}{B}$ が与えられているとする．このとき，
\[
H=\KRSetC{\KROrdPair{b\krc a}}{\KROrdPair{a\krc b}\in\KRMapGraph{\varGamma}}
\]
をグラフとする対応 $\KRMapByGraph{H}{B}{A}$ を
- $\varGamma$ の逆対応（inverse correspondence）
といい，
\[
\varGamma^{-1}
\]
とあらわす．
定義（対応の定義域）．対応 $\KRMap{\varGamma}{A}{B}$ が与えられているとする．このとき，
\[
\KRSetC{a}{\KROrdPair{a\krc b}\in\KRMapGraph{\varGamma}}
\]
を
といい，
\[
\KRMapDomain{\varGamma}
\]
とあらわす．
補足．対応 $\KRMap{\varGamma}{A}{B}$ において，始集合と定義域は必ずしも一致しない．
定義（対応の値域）．対応 $\KRMap{\varGamma}{A}{B}$ が与えられているとする．このとき，
\[
\KRSetC{b}{\KROrdPair{a\krc b}\in\KRMapGraph{\varGamma}}
\]
を
といい，
\[
\KRMapRange{\varGamma}
\]
とあらわす．
補足．対応 $\KRMap{\varGamma}{A}{B}$ において，終集合と値域は必ずしも一致しない．
定義（対応の逆像）．対応 $\KRMap{\varGamma}{A}{B}$ が与えられているとする．このとき，$\varGamma^{-1}$ による $B$ の要素 $b$ の像 $\KRMapImgElm{\varGamma^{-1}}{b}$ を，
- $\varGamma$ による $b$ の逆像（inverse image）
- $\varGamma$ による $b$ の原像
などという．
定義（対応の合成）．$\KRMap{\varGamma_{1}}{A}{B}$，$\KRMap{\varGamma_{2}}{B}{C}$ を対応とする．
\[
G=\KRSetC{\KROrdPair{a\krc c}}{^{\exists}b\in B\left(\KROrdPair{a\krc b}\in\KRMapGraph{\varGamma_{1}}\land\KROrdPair{b\krc c}\in\KRMapGraph{\varGamma_{2}}\right)}
\]
とする．このとき，対応 $\KRMapByGraph{G}{A}{C}$ を
- $\varGamma_{1}$ と $\varGamma_{2}$ の合成対応
といい，
\[
\KRMapComposite{\varGamma_{1}}{\varGamma_{2}}
\]
とあらわす．
補足．（対応の合成の定義はこの通りらしいが，私が今ひとつピンときてないのはナイショ）
参考文献
-
以上，対応の部分集合による定義である．
なにかが抜けているような，なにかが足りないような気がしているが， そのときは適時追加します．
次回のエントリーはおそらく，対応の部分集合の定義に伴う基本命題の証明になると思われる．気長に待たれよ．
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