数学で行こう（旧）: 5月 2019

2019年5月11日

論理記号「 ∧ ∨ ⇒ ￢」を一つの論理記号であらわしてみた

論理記号「

$\mid$ 」の真偽値を以下のように定めてみる；

$\begin{array}{ccc} A & B & A\mid B\\ \bigcirc & \bigcirc & \times\\ \bigcirc & \times & \times\\ \times & \bigcirc & \times\\ \times & \times & \bigcirc \end{array}$

すると，

$\lnot A$ は

$\begin{array}{cccc} A & A & \lnot A & A\mid A\\ \bigcirc & \bigcirc & \times & \times\\ \times & \times & \bigcirc & \bigcirc \end{array}$

より，

$A\mid A$ とあらわせる．

また，

$A\lor B$ は，

$\begin{array}{cccccc} A & B & A\lor B & A\mid B & A\mid B & \left(A\mid B\right)\mid\left(A\mid B\right)\\ \bigcirc & \bigcirc & \bigcirc & \times & \times & \bigcirc\\ \bigcirc & \times & \bigcirc & \times & \times & \bigcirc\\ \times & \bigcirc & \bigcirc & \times & \times & \bigcirc\\ \times & \times & \times & \bigcirc & \bigcirc & \times \end{array}$

より，

$\left(A\mid B\right)\mid\left(A\mid B\right)$ とあらわせる．

んで，

$A\land B \Longleftrightarrow \lnot(\lnot A \lor \lnot B)$ なので，

$\begin{align*} A\land B & \Longleftrightarrow\lnot\left(\lnot A\lor\lnot B\right)\\ & \Longleftrightarrow\lnot\left[\left(A\mid A\right)\lor\left(B\mid B\right)\right]\\ & \Longleftrightarrow\lnot\left\{ \left[\left(A\mid A\right)\mid\left(B\mid B\right)\right]\mid\left[\left(A\mid A\right)\mid\left(B\mid B\right)\right]\right\} \\ & \Longleftrightarrow\left\{ \left[\left(A\mid A\right)\mid\left(B\mid B\right)\right]\mid\left[\left(A\mid A\right)\mid\left(B\mid B\right)\right]\right\} \mid\\ & \qquad\qquad\left\{ \left[\left(A\mid A\right)\mid\left(B\mid B\right)\right]\mid\left[\left(A\mid A\right)\mid\left(B\mid B\right)\right]\right\} \end{align*}$
より，

$A\land B$ は，

$\left\{ \left[\left(A\mid A\right)\mid\left(B\mid B\right)\right]\mid\left[\left(A\mid A\right)\mid\left(B\mid B\right)\right]\right\} \mid\left\{ \left[\left(A\mid A\right)\mid\left(B\mid B\right)\right]\mid\left[\left(A\mid A\right)\mid\left(B\mid B\right)\right]\right\}$ とあらわせる．

最後に，

$A\rightarrow B \Longleftrightarrow \lnot A\lor B$ なので，

$\begin{align*} A\rightarrow B & \Longleftrightarrow\lnot A\lor B\\ & \Longleftrightarrow\left(A\mid A\right)\lor B\\ & \Longleftrightarrow\left[\left(A\mid A\right)\mid B\right]\mid\left[\left(A\mid A\right)\mid B\right] \end{align*}$ より，

$A\rightarrow B$ は，