数学で行こう（旧）: 12月 2018

2018年12月6日

【備忘録】対応の写像による定義

ふと思い立ってこういうことをツイートした；

写像から対応を定義できるか……

A, B を集合とし，A’ を A の部分集合，P(B) を B の冪集合とする．このとき，A’ から P(B) への写像 g を A から B への対応という（以下 G）．ただし，x ∈ A’ のとき G(x) = g(x)，そうでないならG(x) = ∅．
— タナカ (@MathTanaka2017) 2018年12月5日

もう少し見やすくまとめてみた；

対応の写像による定義．

$A,\,B$ を集合とし，

$A'\subseteq A$ とする．このとき，写像

$g:A'\to \mathfrak{P}(B)$ を

$A$ から $B$ への対応

という（以下これを

$G$ とあらわす）．ただし，

$G(x)=\begin{cases} g(x) & x\in A'\\ \varnothing & x\not\in A' \end{cases}$
とする．

補足．もとになる写像

$g$ の始集合を

$A$ の部分集合としたのは，対応では，一般に始集合と定義域が一致しないことを考慮したためである．

補足．

$\mathfrak{P}(B)$ は

$B$ の冪集合である．

補足．定義が妥当かどうかは……どうなんだろうか．

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2018年12月3日

対応の定義に伴う基本命題

前回のエントリー「対応の部分集合による定義」の続き，対応の（部分集合による）定義に伴う基本命題とその証明である．

スマホで見る方は，LaTeXのソースが表示されていると思うので，一番下までスクロールして「ウェブバージョンを表示」をクリックしてみてください．

$\newcommand{\krc}{,\,}$

$\newcommand{\KRMapByGraph}[3]{\left(#2\krc #3\krc #1\right)}$

$\newcommand{\krcc}{,\;}$

$\newcommand{\KRMap}[3]{#1:#2\to #3} \newcommand{\KRMapp}[3]{#2\overset{#1}{\longrightarrow}#3} \newcommand{\KRMapGraph}[1]{G\left(#1\right)} \newcommand{\KRSetC}[2]{\left\{#1\;\middle|\;#2\right\}} \newcommand{\KRMapImgElm}[2]{#1\left(#2\right)} \newcommand{\krEmptySet}{\varnothing} \newcommand{\KRMapTo}[2]{#1\mapsto#2} \newcommand{\KRMapMapTo}[5]{\KRMap{#1}{#2}{#3}\;;\;\KRMapTo{#4}{#5}} \newcommand{\KROrdPair}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{\KRMapDomain}[1]{D\left(#1\right)} \newcommand{\KRMapRange}[1]{V\left(#1\right)} \newcommand{\KRMapComposite}[2]{#2\circ#1}$

定理１．

$\varGamma$ を

$A$ から

$B$ への対応とする．このとき，次のことが成り立つ；

$\KRMapDomain{\varGamma^{-1}} =\KRMapRange{\varGamma}.$
証明．対応の定義域の定義および対応の値域の定義より，

$\begin{align*} \KRMapDomain{\varGamma^{-1}} & =\KRSetC{b}{\KROrdPair{b\krc a}\in\KRMapGraph{\varGamma^{-1}}}\\ \KRMapRange{\varGamma} & =\KRSetC{b}{\KROrdPair{a\krc b}\in\KRMapGraph{\varGamma}} \end{align*}$
である．また，逆対応の定義より，

$\KROrdPair{b\krc a}\in\KRMapGraph{\varGamma^{-1}}\Longleftrightarrow\KROrdPair{a\krc b}\in\KRMapGraph{\varGamma}$
である．したがって，

$\KRMapDomain{\varGamma^{-1}}=\KRMapRange{\varGamma}$ ．

定理２．

$\varGamma$ を

$A$ から

$B$ への対応とする．このとき，次のことが成り立つ；

$\KRMapRange{\varGamma^{-1}} =\KRMapDomain{\varGamma}.$
証明．対応の定義域の定義および値域の定義より，

$\begin{align*} \KRMapRange{\varGamma^{-1}} & =\KRSetC{a}{\KROrdPair{b\krc a}\in\KRMapGraph{\varGamma^{-1}}}\\ \KRMapDomain{\varGamma} & =\KRSetC{a}{\KROrdPair{a\krc b}\in\KRMapGraph{\varGamma}} \end{align*}$
であり，また，逆対応の定義より，

$\KROrdPair{b\krc a}\in\KRMapGraph{\varGamma^{-1}}\Longleftrightarrow\KROrdPair{a\krc b}\in\KRMapGraph{\varGamma}$
である．したがって，

$\KRMapRange{\varGamma^{-1}}=\KRMapDomain{\varGamma}$ ．

定理３．

$\varGamma$ を

$A$ から

$B$ への対応とする．このとき，次のことが成り立つ；

$\left(\varGamma^{-1}\right)^{-1} =\varGamma.$
証明．

$\varGamma$ の逆対応

$\KRMap{\varGamma^{-1}}{B}{A}$ と

$\varGamma^{-1}$ の逆対応

$\KRMap{\left(\varGamma^{-1}\right)^{-1}}{A}{B}$ を考える．逆対応の定義より，

$\begin{align*} \left(a,\,b\right)\in G\left(\varGamma\right) & \Longleftrightarrow\left(b,\,a\right)\in G\left(\varGamma^{-1}\right)\\ & \Longleftrightarrow\left(a,\,b\right)\in G\left(\left(\varGamma^{-1}\right)^{-1}\right) \end{align*}$
である．したがって，

$\KRMapGraph{\varGamma}=\KRMapGraph{\left(\varGamma^{-1}\right)^{-1}}$ ．対応の相当の定義より，

$(\varGamma^{-1})^{-1}=\varGamma$ ．

補足．上記，アホアホしいほど，アホ丁寧な証明だが，このぐらい書かないと私がわからないのだ．

-

次回のエントリーでは，写像の定義にについて書く予定．気長に待たれよ．

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2018年12月1日

対応の部分集合による定義

前回のエントリー「対応と写像の定義【予告編】」の続き，対応の部分集合による定義である．

拙著「集合論」を読まれた方には見慣れた書き方と思うが，私の｢書式｣には本文がほとんど無く，「定義・定理・証明・補足」が淡々と続く．以下でもその方法を踏襲している（自分で「タナカ式」とよんでいます）．

スマホで見る方は，LaTeXのソースが表示されていると思うので，一番下までスクロールして「ウェブバージョンを表示」をクリックしてみてください．

$\newcommand{\krc}{,\,}$

$\newcommand{\KRMapByGraph}[3]{\left(#2\krc #3\krc #1\right)}$

$\newcommand{\krcc}{,\;}$

$A\krc B$ を集合，

$G$ を

$A\times B$ の部分集合とする．このとき，組

$\KRMapByGraph{G}{A}{B}$ を

$A$ から $B$ への対応（correspondence）

という．

補足．対応をあらわす記号として

$f\krcc g\krcc\dots\krcc F\krcc G\krcc\dots\krcc\varGamma\krcc\dots$
などがよく用いられる（とはいうものの，

$\varGamma$ 一択のような気もする）．

補足．対応

$\varGamma=\KRMapByGraph{G}{A}{B}$ を，

$\begin{align*} & \KRMap{\varGamma}{A}{B}\\ & \KRMapp{\varGamma}{A}{B}\end{align*}$
などとよくあらわす．

定義（対応のグラフ）．対応

$\varGamma=\KRMapByGraph{G}{A}{B}$ が与えられているとする．このとき，

$G$ を

対応 $\KRMapByGraph{G}{A}{B}$ のグラフ（graph）

といい，

$\KRMapGraph{\varGamma}$
とあらわす．

定義（対応による像）．対応

$\KRMap{\varGamma}{A}{B}$ が与えられているとする．このとき，

$a\in A$ に対して，

$\KRSetC{b}{\left(a\krc b\right)\in\KRMapGraph{\varGamma}}$
を

$\varGamma$ による $a$ の像（image）

といい，

$\KRMapImgElm{\varGamma}{a}$
とあらわす．

補足．対応

$\KRMap{\varGamma}{A}{B}$ において，

$a\krc a'\in A\krc a\neq a'$ に対して，

$\KRMapImgElm{\varGamma}{a}=\KRMapImgElm{\varGamma}{a'}$ であってもよい．また，

$\KRMapImgElm{\varGamma}{a}=\krEmptySet$ となるような

$a\in A$ が存在してもよい．

定義（始集合）．対応

$\KRMap{\varGamma}{A}{B}$ において，

$A$ を

$\varGamma$ の始集合（initial set）
$\varGamma$ の始域

などという．

定義（終集合）．対応

$\KRMap{\varGamma}{A}{B}$ において，

$B$ を

$\varGamma$ の終集合（final set）
$\varGamma$ の終域

などという．

補足．対応

$\KRMap{\varGamma}{A}{B}$ と

$a\in A$ の

$\varGamma$ による像

$\KRMapImgElm{\varGamma}{a}$ を

$\KRMapMapTo{\varGamma}{A}{B}{a}{\KRMapImgElm{\varGamma}{a}}$
とあらわすことがある（のかどうかはよく知らない．写像ではよくあるが，対応ではどうなのか）．

定義（対応の相当）．2つの対応

$\KRMap{\varGamma}{A}{B}$ ，

$\KRMap{\varGamma'}{A'}{B'}$ に対して，

$\KRMapGraph{\varGamma}=\KRMapGraph{\varGamma'}\krcc A=A'\krcc B=B'$
であるとき，

$\varGamma$ と $\varGamma'$ は等しい

といい，

$\varGamma=\varGamma'$
とあらわす．

定義（逆対応）．対応

$\KRMap{\varGamma}{A}{B}$ が与えられているとする．このとき，

$H=\KRSetC{\KROrdPair{b\krc a}}{\KROrdPair{a\krc b}\in\KRMapGraph{\varGamma}}$
をグラフとする対応

$\KRMapByGraph{H}{B}{A}$ を

$\varGamma$ の逆対応（inverse correspondence）

といい，

$\varGamma^{-1}$
とあらわす．

定義（対応の定義域）．対応

$\KRMap{\varGamma}{A}{B}$ が与えられているとする．このとき，

$\KRSetC{a}{\KROrdPair{a\krc b}\in\KRMapGraph{\varGamma}}$
を

$\varGamma$ の定義域（domain）

といい，

$\KRMapDomain{\varGamma}$
とあらわす．

補足．対応

$\KRMap{\varGamma}{A}{B}$ において，始集合と定義域は必ずしも一致しない．

定義（対応の値域）．対応

$\KRMap{\varGamma}{A}{B}$ が与えられているとする．このとき，

$\KRSetC{b}{\KROrdPair{a\krc b}\in\KRMapGraph{\varGamma}}$
を

$\varGamma$ の値域（range）

といい，

$\KRMapRange{\varGamma}$
とあらわす．

補足．対応

$\KRMap{\varGamma}{A}{B}$ において，終集合と値域は必ずしも一致しない．

定義（対応の逆像）．対応

$\KRMap{\varGamma}{A}{B}$ が与えられているとする．このとき，

$\varGamma^{-1}$ による

$B$ の要素

$b$ の像

$\KRMapImgElm{\varGamma^{-1}}{b}$ を，

$\varGamma$ による $b$ の逆像（inverse image）
$\varGamma$ による $b$ の原像

などという．

定義（対応の合成）．

$\KRMap{\varGamma_{1}}{A}{B}$ ，

$\KRMap{\varGamma_{2}}{B}{C}$ を対応とする．

$G=\KRSetC{\KROrdPair{a\krc c}}{^{\exists}b\in B\left(\KROrdPair{a\krc b}\in\KRMapGraph{\varGamma_{1}}\land\KROrdPair{b\krc c}\in\KRMapGraph{\varGamma_{2}}\right)}$
とする．このとき，対応

$\KRMapByGraph{G}{A}{C}$ を

$\varGamma_{1}$ と $\varGamma_{2}$ の合成対応

といい，

$\KRMapComposite{\varGamma_{1}}{\varGamma_{2}}$
とあらわす．

補足．（対応の合成の定義はこの通りらしいが，私が今ひとつピンときてないのはナイショ）

参考文献

-

以上，対応の部分集合による定義である．

なにかが抜けているような，なにかが足りないような気がしているが，そのときは適時追加します．

次回のエントリーはおそらく，対応の部分集合の定義に伴う基本命題の証明になると思われる．気長に待たれよ．

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