論理記号「 ∧ ∨ ⇒ ￢ 」を一つの論理記号であらわしてみた

論理記号「 $\mid$ 」の真偽値を以下のように定めてみる；

$\begin{array}{ccc} A & B & A\mid B\\ \bigcirc & \bigcirc & \times\\ \bigcirc & \times & \times\\ \times & \bigcirc & \times\\ \times & \times & \bigcirc \end{array}$

すると，$\lnot A$ は

$\begin{array}{cccc} A & A & \lnot A & A\mid A\\ \bigcirc & \bigcirc & \times & \times\\ \times & \times & \bigcirc & \bigcirc \end{array}$

より，$A\mid A$ とあらわせる．

また，$A\lor B$ は，

$\begin{array}{cccccc} A & B & A\lor B & A\mid B & A\mid B & \left(A\mid B\right)\mid\left(A\mid B\right)\\ \bigcirc & \bigcirc & \bigcirc & \times & \times & \bigcirc\\ \bigcirc & \times & \bigcirc & \times & \times & \bigcirc\\ \times & \bigcirc & \bigcirc & \times & \times & \bigcirc\\ \times & \times & \times & \bigcirc & \bigcirc & \times \end{array}$

より，$\left(A\mid B\right)\mid\left(A\mid B\right)$ とあらわせる．

んで，$A\land B \Longleftrightarrow \lnot(\lnot A \lor \lnot B)$ なので，
\[\begin{align*} A\land B & \Longleftrightarrow\lnot\left(\lnot A\lor\lnot B\right)\\ & \Longleftrightarrow\lnot\left[\left(A\mid A\right)\lor\left(B\mid B\right)\right]\\ & \Longleftrightarrow\lnot\left\{ \left[\left(A\mid A\right)\mid\left(B\mid B\right)\right]\mid\left[\left(A\mid A\right)\mid\left(B\mid B\right)\right]\right\} \\ & \Longleftrightarrow\left\{ \left[\left(A\mid A\right)\mid\left(B\mid B\right)\right]\mid\left[\left(A\mid A\right)\mid\left(B\mid B\right)\right]\right\} \mid\\ & \qquad\qquad\left\{ \left[\left(A\mid A\right)\mid\left(B\mid B\right)\right]\mid\left[\left(A\mid A\right)\mid\left(B\mid B\right)\right]\right\} \end{align*}\]
より，$A\land B$ は，\[\left\{ \left[\left(A\mid A\right)\mid\left(B\mid B\right)\right]\mid\left[\left(A\mid A\right)\mid\left(B\mid B\right)\right]\right\} \mid\left\{ \left[\left(A\mid A\right)\mid\left(B\mid B\right)\right]\mid\left[\left(A\mid A\right)\mid\left(B\mid B\right)\right]\right\} \]とあらわせる．

最後に，$A\rightarrow B \Longleftrightarrow \lnot A\lor B$ なので，\[\begin{align*} A\rightarrow B & \Longleftrightarrow\lnot A\lor B\\ & \Longleftrightarrow\left(A\mid A\right)\lor B\\ & \Longleftrightarrow\left[\left(A\mid A\right)\mid B\right]\mid\left[\left(A\mid A\right)\mid B\right] \end{align*}\]より，$A\rightarrow B$ は，\[\left[\left(A\mid A\right)\mid B\right]\mid\left[\left(A\mid A\right)\mid B\right]\]とあらわせる．


-


いかがでしたか， 論理記号「 ∧ ∨ ⇒ ￢ 」はひとつの論理記号「 $\mid$ 」であらわせることがわかりましたね！

皆さんも「 $\mid$ 」を使って，命題論理や述語論理を再構築してみてはどうでしょうか（面倒臭い




今回の記事の元ネタは，瀬山士郎『はじめての現代数学』からでした．

はじめての現代数学

posted with ヨメレバ

瀬山士郎 早川書房 2009年03月25日

楽天ブックスで見る

Amazonで見る

　　　↓クリックしてもらえると励みになります．

にほんブログ村

集合論はAmazonにて好評販売中です；Kindle版，製本版 (POD)

「集合論（第10版）」の訂正01

自著「集合論」の第10版の訂正です．

「§3.2.5 集合族の直積」の規約3.4（96頁）で，以下のように記述しました；

この規約内の「 $A^n$， 」を削除します．

任意の $i,\,j\in \varLambda$ に対して，$A_i = A_j$ となるとき，$A^n$ とあらわしますが，一般にはそうではないので．

---

令和になったので，文体を変えました．

集合論（第10版）へのリンク：Kindle版，製本版





　　　↓クリックしてもらえると励みになります．

にほんブログ村

「応援してやるよ」という方がおられましたら，こちらからお布施をお願いします → Ofuse

「集合論（数学で行こう）」第10版（製本版）

 自著「集合論（数学で行こう）」の第10版の製本版の販売開始が令和元年５月１日に決定しました．

5月1日に発売するという公約は守れた！

現在，予約受付中です．

【集合論（数学で行こう）第10版】

• 製本版（Amazon）

POD版です．本屋には並びません．

背表紙と裏表紙にも何か書いてあります．

取り急ぎお知らせまで．




　　　↓クリックしてもらえると励みになります．

にほんブログ村

「応援してやるよ」という方がおられましたら，こちらからお布施をお願いします → Ofuse

「集合論（数学で行こう）」第10版

 自著「集合論（数学で行こう）」の第10版を公開した．

【集合論（数学で行こう）第10版】

• Kindle版（Amazon）

第10版では，

• 第7章の加筆ならびに文言の見直し
• その他，全体的に文言の見直し

を行った．

第10版ということで，当初のとおり，製本版（POD）を販売する予定だ．

「集合論」はこの第10版で一応の完成とする（今までのは何だったのかとか言わない）．

書き切れなかった部分や，さらに補足が必要と感じた個所は，このブログで追記して行きたい．


---

PDF版をDLMarketで販売していたが，同サイトの閉鎖に伴い，PDF版の販売は休止している．

製本版は5月1日（令和元年初日！）に出版できるように頑張ります．






　　　↓クリックしてもらえると励みになります．

にほんブログ村

「応援してやるよ」という方がおられましたら，こちらからお布施をお願いします → Ofuse

「集合論（数学で行こう）」第9.4.1版

 自著「集合論（数学で行こう）」の第9.4.1版を公開した．

【集合論（数学で行こう）第9.4.1版】

• Kindle版（Amazon）

第9.4.1版では，

• 一部文言を見直し

を行った．

ほぼ半年かけてチマチマと修正していると，自分でもどこを同修正したのか把握しきれず，上のように書くしかなかった．

なお，第9.4版では，本文冒頭の二つの定義を一つに融合してしまうという初歩的なミスをやらかしたので，それを修正した第9.4.1版に差し替えた．顛末は以下の連ツイを参照；

「#集合論」第9.4版．単純ミスしとる……定義1.1.1と同1.1.2になるはずの定義が融合……本文初っぱなから何をしとるんだオレは．

— タナカ (@MathTanaka2017) 2019年2月7日

---

毎回ここでDLMarketのPDF版を推していたが，現在，同サイトが閉鎖中のため，販売できないでいる．



製本版を第10版で出す予定に変更はない．次の改訂版が第10版になることを期待したい（他人のふり）．






　　　↓クリックしてもらえると励みになります．

にほんブログ村

「応援してやるよ」という方がおられましたら，こちらからお布施をお願いします → Ofuse