群・環・体の定義の前に，演算についてこれぐらい書いておいてもらわないと，私にはわからないので，自分なりに演算の定義をまとめておく．
拙著「集合論」を読まれた方には見慣れた書き方と思うが，私の｢書式｣には本文がほとんど無く，「定義・定理・証明・補足 」が淡々と続く．以下でもその方法を踏襲している（自分で「タナカ式」とよんでいます）．
なお，集合論（今回の場合は「写像」）については既知であるとして説明している．
✅手元の iPhone で確認したところ， スマホモードではTeXコードが表示され，Webモードでは，数式の表示が一部うまくいかないようです．
演算
定義（演算）．$X$ を集合とする．写像 $g:X\times X \rightarrow X$ を
という．
定義（積）．集合 $X$ 上に演算 $g$ が定義されているとする．このとき，$\left(a,\, b\right)\in X\times X$ の像 $g(a,\, b)$ を
積といい
$$a\circ b$$
とあらわす．
補足．集合 $X$ 上に定義されている演算$g$ を，その積の記号を用いて
演算 $\circ$
とよくあらわす．
定義（単位元）．集合 $X$ 上に演算 $\circ$ が定義されているとする．ある要素 $e\in X$ が存在して，任意の $a\in X$ に対して，$$a\circ e=e\circ a=a$$であるとき，$e$ を
単位元という．
補足．演算 $\circ$ における単位元 $e$ を
$0$
$1$
などとよくあらわす．
定義（逆元）．集合 $X$ 上に演算 $\circ$ が定義されているとする．任意の $a\in X$ に対して，ある $b\in X$ が存在して，
$$a\circ b=b\circ a=e$$
であるとき，$b$ を「$a$ の
逆元」という．
補足．演算 $\circ$ における $a$ の逆元を
$-a$
$a^{-1}$
などとよくあらわす．
定義（可逆元）．集合 $X$ 上に演算 $\circ$ が定義されているとする．任意の $a\in X$ に対して，$a$ の逆元が存在するならば，$a$ を
可逆元という．
定義（可換）．集合 $X$ 上に演算 $\circ$ が定義されているとする．任意の $a\in X$ に対して，ある $b\in X$ が存在して，
$a\circ b=b\circ a$
であるとき，「$a,\, b$ は
可換である」という．
定義（結合律）．集合 $X$ 上に演算 $\circ$ が定義されているとする．任意の $a,\, b,\, c\in X$ に対して，
$\left(a\circ b\right)\circ c=a\circ\left(b\circ c\right)$
であるとき，これを
結合律という．
定義（分配律）．集合 $X$ 上に2つの演算 $\circ,\,\diamond$ が定義されているとする．任意の $a,\, b,\, c\in X$ に対して，
$$a\diamond\left(b\circ c\right)=\left(a\diamond b\right)\circ\left(a\diamond c\right)$$
であるとき，これを
分配律という．
-
以上である．
これらの定義は，群・環・体の定義の中で述べられることが多いが，私はそれを見て，どうにもスッキリせず，モヤモヤしていた．
モヤモヤの原因が何であるのかわからなかったのだが，試行錯誤するうち，演算に関する定義を抜き出して，先に述べてから，群・環・体の定義を書けば流れるように読めることがわかった．
やはり，わからないと思ったら，自分で再構成するほか無いようだ．
というわけで，次回は（多分）群・環・体の定義である．
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