群・環・体の関係みたいなもの

こういう，公式みたいなまとめ方はあまりよくないと思いつつまとめてみた．

• 半群
• 演算＋結合律

• 単位元付半群
• 演算＋結合律＋単位元
• 半群＋単位元 

• 群
• 演算＋結合律＋単位元＋逆元
• 半群＋単位元＋逆元
• 単位元付半群＋逆元

• 可換半群
• 半群＋可換

• 可換群
• 群＋可換

• 環
• 加法：可換群
• 乗法：単位元付半群
• 分配律

• 可換環
• 加法：可換群
• 乗法：単位元付半群＋可換
• 分配律

• 可除環
• 加法：可換群
• 乗法：群
• 分配律

• 体
• 加法：可換群
• 乗法：可換群
• 分配律

 -

前回のエントリーを書いてる途中，手元のメモでまとめてたものを吐き出してみた．

いってみれば，確認用．これで覚えようとしてはイケないと思う．





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群・環・体の定義

 前回のエントリー「演算の定義（群・環・体の準備）」の続きである．

群

定義（半群）．$G$ を空ではない集合とする．$G$ 上に演算 $\circ$ が定義されており，次の性質を満たしているとする；

• 【結合律】任意の $a,\, b,\, c\in G$ に対して，$\left(a\circ b\right)\circ c=a\circ\left(b\circ c\right)$．

このとき，$\left(G,\,\circ\right)$ を半群という．


定義（単位元付半群）．$G$ を空ではない集合とする．$G$ 上に演算 $\circ$ が定義されており，次の性質を満たしているとする；

• 【結合律】任意の $a,\, b,\, c\in G$ に対して，$\left(a\circ b\right)\circ c=a\circ\left(b\circ c\right)$．
• 【単位元】ある要素 $e\in G$ が存在して，任意の $a\in G$ に対して，$a\circ e=e\circ a=a$．

このとき，$\left(G,\,\circ\right)$ を単位元付半群という．


定義（群）．$G$ を空ではない集合とする．$G$ 上に演算 $\circ$ が定義されており，次の性質を満たしているとする；

• 【結合律】任意の $a,\, b,\, c\in G$ に対して，$\left(a\circ b\right)\circ c=a\circ\left(b\circ c\right)$．
• 【単位元】ある要素 $e\in G$ が存在して，任意の $a\in G$ に対して，$a\circ e=e\circ a=a$．
• 【逆元】任意の $a\in G$ に対して，ある $b\in G$ が存在して，$a\circ b=b\circ a=e$．

このとき，$\left(G,\,\circ\right)$ を群という．


補足．誤解の恐れが無ければ，$\left(G,\,\circ\right)$ を単に $G$ とあらわす．


定義（可換群）．$G$ を群とする．$G$ が次の性質を満たしているとする；

• 【可換】任意の $a,\, b\in G$ に対して，$a\circ b=b\circ a$．

このとき，$G$ は可換群であるという．

環

定義（環）．集合 $A$ に2つの演算，加法 $\left(+\right)$ と乗法 $\left(\bullet\right)$ が定義されているとする．$A$ が次の性質を満たしているとする；

• $A$ は加法に関して可換群である；

• 【加法の単位元】ある要素 $e_{0}\in A$ が存在して，任意の $a\in A$ に対して，$a+e_{0}=e_{0}+a=a$．
•  【加法の逆元】任意の $a\in A$ に対して，ある$-a\in A$が存在して，$a+\left(-a\right)=-a+a=e_{0}$．
• 【加法の結合律】任意の $a,\, b,\, c\in A$ に対して，$\left(a\circ b\right)\circ c=a\circ\left(b\circ c\right)$
• 【加法が可換】任意の $a,\, b\in A$ に対して，$a\circ b=b\circ a$．
• $A$ は乗法に関して単位元付半群である；

• 【乗法の単位元】ある要素 $e_{1}\in A$ が存在して，任意の$a\in A$に対して， $a\bullet e_{1} = e_{1}\bullet a=a$．

• 【乗法の結合律】任意の $a,\, b,\, c\in A$ に対して， $\left(a\bullet b\right)\bullet c=a\bullet\left(b\bullet c\right)$．
• 【分配律】任意の $a,\, b,\, c\in A$ に対して，$a\bullet\left(b+c\right)=a\bullet b+a\bullet c$．

このとき，$A$ を環という．


定義（可換環）．$A$ を環とする．$A$ の乗法に関して，任意の $a,\, b\in A$ が可換であるとき，すなわち， $$a\bullet b=b\bullet a$$ ならば，$A$ を可換環という．


定義（零元）．$A$ を環とする．$A$ の加法に関する単位元 $e_{0}$ を零元という．


補足．環の零元は $0$ とあらわすことが多い．


定義（単位元）．$A$ を環とする．$A$ の乗法に関する単位元 $e_{1}$ を単に単位元という．


補足．環の単位元は $1$ とあらわすことが多い．

体

 定義（可除環）．集合 $K$ に，2つの演算，加法と乗法が定義されているとする．$K$ が次の2つの条件を満たしているとする；

• $K$ は環である．
• 【乗法の逆元】任意の $a\in K$ に対して，ある $a^{-1}\in K$ が存在して，$a\bullet a^{-1}=a^{-1}\bullet a=e$．

このとき，$K$ を可除環という．


補足．くだけた書き方をすれば，可除環とは

• 加法に関して可換群であり，
• 乗法に関して群をなし，
• 分配律を満たすとき，

をいう．

 
定義（体）．可除環 $K$ の乗法が，$K$ の任意の要素 $a,\, b$ に対して可換ならば，$K$ を体という．


補足．可除環の場合と同様な書き方をすれば，体とは

• 加法について可換群であり，
• 乗法についても可換群をなし，
• 分配律を満たすとき，

をいう．

-

以上，群・環・体の定義である．

演算に関する定義と，群環体の定義は分けて欲しいと思っていたし，そうしないと自分がわからない．

一般論としてはどうかわからないが，私としては，こういう順番で書いてもらうのが一番わかりやすい．






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演算の定義（群・環・体の準備）

群・環・体の定義の前に，演算についてこれぐらい書いておいてもらわないと，私にはわからないので，自分なりに演算の定義をまとめておく．

拙著「集合論」を読まれた方には見慣れた書き方と思うが，私の｢書式｣には本文がほとんど無く，「定義・定理・証明・補足 」が淡々と続く．以下でもその方法を踏襲している（自分で「タナカ式」とよんでいます）．

なお，集合論（今回の場合は「写像」）については既知であるとして説明している．

✅手元の iPhone で確認したところ， スマホモードではTeXコードが表示され，Webモードでは，数式の表示が一部うまくいかないようです．

演算 

定義（演算）．$X$ を集合とする．写像 $g:X\times X \rightarrow X$ を

• 集合 $X$ 上の演算

という．


定義（積）．集合 $X$ 上に演算 $g$ が定義されているとする．このとき，$\left(a,\, b\right)\in X\times X$ の像 $g(a,\, b)$ を積といい
$$a\circ b$$
とあらわす．


補足．集合 $X$ 上に定義されている演算$g$ を，その積の記号を用いて

演算 $\circ$

とよくあらわす．


定義（単位元）．集合 $X$ 上に演算 $\circ$ が定義されているとする．ある要素 $e\in X$ が存在して，任意の $a\in X$ に対して， $$a\circ e=e\circ a=a$$ であるとき，$e$ を単位元という．


補足．演算 $\circ$ における単位元 $e$ を

$0$
$1$

などとよくあらわす．


定義（逆元）．集合 $X$ 上に演算 $\circ$ が定義されているとする．任意の $a\in X$ に対して，ある $b\in X$ が存在して，
$$a\circ b=b\circ a=e$$
であるとき，$b$ を「$a$ の逆元」という．


補足．演算 $\circ$ における $a$ の逆元を

$-a$

$a^{-1}$

などとよくあらわす．


定義（可逆元）．集合 $X$ 上に演算 $\circ$ が定義されているとする．任意の $a\in X$ に対して，$a$ の逆元が存在するならば，$a$ を可逆元という．


定義（可換）．集合 $X$ 上に演算 $\circ$ が定義されているとする．任意の $a\in X$ に対して，ある $b\in X$ が存在して，

$a\circ b=b\circ a$

であるとき，「$a,\, b$ は可換である」という．


定義（結合律）．集合 $X$ 上に演算 $\circ$ が定義されているとする．任意の $a,\, b,\, c\in X$ に対して，

$\left(a\circ b\right)\circ c=a\circ\left(b\circ c\right)$

であるとき，これを結合律という．


定義（分配律）．集合 $X$ 上に2つの演算 $\circ,\,\diamond$ が定義されているとする．任意の $a,\, b,\, c\in X$ に対して，
$$a\diamond\left(b\circ c\right)=\left(a\diamond b\right)\circ\left(a\diamond c\right)$$
であるとき，これを分配律という．


-


以上である．


これらの定義は，群・環・体の定義の中で述べられることが多いが，私はそれを見て，どうにもスッキリせず，モヤモヤしていた．

モヤモヤの原因が何であるのかわからなかったのだが，試行錯誤するうち，演算に関する定義を抜き出して，先に述べてから，群・環・体の定義を書けば流れるように読めることがわかった．

やはり，わからないと思ったら，自分で再構成するほか無いようだ．

というわけで，次回は（多分）群・環・体の定義である．





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